Derivada logarítmica

En matemàtiques, específicament en càlcul i anàlisi complexa, la derivada logarítmica d'una funció f es defineix per la fórmula[1]$${\displaystyle {\frac {f'}{f}}}$$on ${\displaystyle f'}$ és la derivada de f. Intuïtivament, aquest és el canvi relatiu infinitesimal en f; és a dir, el canvi absolut infinitesimal en f, és a dir ${\displaystyle f',}$ escalada pel valor actual de f. [2]

Quan f és una funció f (x) d'una variable real x, i pren valors reals estrictament positius, això és igual a la derivada de ln(f), o al logaritme natural de f. Això es desprèn directament de la regla de la cadena: [3]$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}}$$Moltes propietats del logaritme real també s'apliquen a la derivada logarítmica, fins i tot quan la funció no pren valors en els reals positius. Per exemple, com que el logaritme d'un producte és la suma dels logaritmes dels factors, tenim [4]$${\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.}$$Així, per a les funcions de valor positiu-real, la derivada logarítmica d'un producte és la suma de les derivades logarítmiques dels factors. Però també podem utilitzar la llei de Leibniz per obtenir la derivada d'un producte$${\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}$$Exemples:

• El creixement exponencial i la decadència exponencial són processos amb derivada logarítmica constant.
• En finances matemàtiques, el símbol grec λ és la derivada logarítmica del preu del derivat respecte al preu subjacent.
• En l'anàlisi numèrica, el nombre de condició és el canvi relatiu infinitesimal en la sortida per a un canvi relatiu en l'entrada i, per tant, és una relació de derivades logarítmiques.

Referències

1. Weisstein, Eric W. «Logarithmic Derivative» (en anglès). https://mathworld.wolfram.com.+[Consulta: 8 gener 2023].
2. «Derivatives of Logarithmic Functions | Brilliant Math & Science Wiki» (en anglès). https://brilliant.org.+[Consulta: 8 gener 2023].
3. «logarithmic derivative». planetmath.org. [Consulta: 12 agost 2021].
4. «Calculus I - Logarithmic Differentiation» (en anglès). https://tutorial.math.lamar.edu.+[Consulta: 8 gener 2023].