في الرياضيات ، دالة تحليلية (بالإنجليزية : Analytic function ) هي دالة رياضية يمكن أن يُعبر عنها محليا بواسطة متسلسلة قوى متقاربة .[ 1] [ 2] [ 3] أعداد عقدية )
فمثلا يُقال عن الدالة (f(x أنها دالة تحليلية في النقطة x0 ، إذا أمكن تمثيل (f(x بمتسلسلة تايلور لقوى (x - x0 ).
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
=
a
0
+
a
1
(
x
−
x
0
)
+
a
2
(
x
−
x
0
)
2
+
a
3
(
x
−
x
0
)
3
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\\&=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots \end{aligned}}}
T
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}
من أهم الأمثلة عن الدوال التحليلية ما يلي:
جميع الدوال الابتدائية
متعددات الحدود ذات متغير حقيقي أو متغير عقدي هي دوال تحليلية، مثل
f
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}
الدالة الأسية دالة تحليلية.
f
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f(x)=\mathrm {e} ^{x}}
الدوال المثلثية واللوغاريتم ودوال الرفع هن دوال تحليلية في كل مجال مفتوح من مجال تعريفهن.
f
(
x
)
=
sin
(
3
x
)
,
g
(
x
)
=
cos
(
2
x
)
{\displaystyle f(x)=\sin(3x),g(x)=\cos({\sqrt {2}}x)}
كل الدوال الخاصة .
من أهم الأمثلة عن الدوال غير التحليلية ما يلي:
مجموع وجداء وتركيب دوال تحليلية ما هو دالة تحليلية.
مقلوب دالة تحليلية لا تساوي الصفر في أن نقطة، هو دالة تحليلية. (انظر إلى مبرهنة القلب للاغرانج ).كل دالة تحليلة هي دالة ناعمة ، أي أنها قابلة للاشتقاق عددا غير منته من المرات. العكس غير صحيح بالنسبة للدوال الحقيقية (أي أنه ليست كل الدوال الملساء دوالا تحليلية).
انظر إلى مبرهنة ليوفيل (تحليل عقدي) .
f
(
x
)
=
1
x
2
+
1
.
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}.}
