دالة الكثافة الاحتمالية

في نظرية الاحتمالات، دالة كثافة الاحتمال[1] أو دالة الكثافة الاحتمالية (د. ك.ا) (بالإنجليزية: probability density function)‏ أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)dx=1}$

يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها تقويم لاستمرارية منسّج الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي ${\displaystyle X}$ دالة كثافة احتمالية ${\displaystyle f\left(X\right)}$، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :

${\displaystyle P\left[a\leq X\leq b\right]=\int _{a}^{b}f\left(x\right)dx}$

أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير ${\displaystyle X}$ قيمًا في الفترة ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت ${\displaystyle F}$ هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير ${\displaystyle X}$، يتحقق:

${\displaystyle ,F\left(x\right)=\int _{-\infty }^{x}f\left(u\right)du}$

وكذلك، فإنّ:

${\displaystyle f\left(x\right)={\frac {d}{dx}}F\left(x\right)}$

من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة ${\displaystyle f\left(x\right)}$، عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي ${\displaystyle \left[x,x+dx\right]}$ هو ${\displaystyle f\left(x\right)dx}$.

دوال كثافة احتمالية مهمة

• التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغيّر العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة ${\displaystyle \left[a,b\right]}$، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة ${\displaystyle \left[a,b\right]}$، أي:

${\displaystyle f\left(x\right)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}\quad a\leq x\leq b\\0\quad \quad x<a,x>b\end{cases}}}$

• بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي أو الغاوسي، فإنّ دالة الكثافة الاحتمالية هي:

${\displaystyle f\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

هذا في حالة كون المتغيّر عشوائي تابعا لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقعة مساوية لـ-${\displaystyle \mu }$ والتباين مساويًا لـ-${\displaystyle \sigma ^{2}}$ تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:

${\displaystyle f\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

استعمالات

• حساب القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي ما يتم وفق المعادلة التالية:

${\displaystyle E\left[X\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf\left(x\right)dx}$

أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.

انظر أيضًا

• قائمة التوزيعات الاحتمالية
• دالة التوزيع التراكمي
• دالة الإمكان

مراجع

1. موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 553، OCLC:1369254291، QID:Q108593221