توزيع لابلاس

توزيع لابلاس

دالة الكثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات	${\displaystyle \mu \,}$ موقع (حقيقي) ${\displaystyle b>0\,}$ (حقيقي)
الدعم	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\,}$
د۔ك۔ح۔	${\displaystyle {\frac {1}{2\,b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,}$
د۔ت۔ت	انظر النص
المتوسط الحسابي	${\displaystyle \mu \,}$
الوسيط الحسابي	${\displaystyle \mu \,}$
المنوال	${\displaystyle \mu \,}$
التباين	${\displaystyle 2\,b^{2}}$
التجانف	${\displaystyle 0\,}$
التفرطح	${\displaystyle 3\,}$
الاعتلاج	${\displaystyle \log(2\,e\,b)}$
د۔م۔ع	${\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,t)}{1-b^{2}\,t^{2}}}\,\!}$ for ${\displaystyle |t|<1/b\,}$
الدالة المميزة	${\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,i\,t)}{1+b^{2}\,t^{2}}}\,\!}$
معلومات فيشر	{{{معلومات فيشر}}}

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، توزيع لابلاس توزيع احتمالي مستمر سمي باسم الرياضي الفرنسي بيير لابلاس.[1][2][3]

الخواص

دالة الكثافة

يقال أن لمتغير لعشوائي ما أنه يتبع توزيع لابلاس إذا كانت دالة كثافته تعطى بالشكل التالي:

${\displaystyle f(x|\mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2b}}{\begin{cases}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{si }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{si }}x\geq \mu \end{cases}}}$

دالة التوزيع

دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يتبع توزيع لابلاس تعطى بالشكل التالي:

${\displaystyle F(x)\,}$	${\displaystyle =\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u}$
	${\displaystyle ={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{si }}x<\mu \\[8pt]1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{si }}x\geq \mu \end{cases}}}$
	${\displaystyle =0,5\,[1+\operatorname {sgn}(x-\mu )\,(1-\exp(-|x-\mu |/b))].}$

ومقلوب دالة التوزيع هو:

${\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0,5)\,\ln(1-2|p-0,5|).}$

مراجع

1. Robert M. Norton (مايو 1984). "The Double Exponential Distribution: Using Calculus to Find a Maximum Likelihood Estimator". ذا أمريكان ستاتيستيشين. American Statistical Association. ج. 38 ع. 2: 135–136. DOI:10.2307/2683252. JSTOR:2683252.
2. Minguillon، J.؛ Pujol، J. (2001). "JPEG standard uniform quantization error modeling with applications to sequential and progressive operation modes". Journal of Electronic Imaging. ج. 10 ع. 2: 475–485. DOI:10.1117/1.1344592.
3. Kotz، Samuel؛ Kozubowski، Tomasz J.؛ Podgórski، Krzysztof (2001). The Laplace distribution and generalizations: a revisit with applications to Communications, Economics, Engineering and Finance. Birkhauser. ص. 23 (Proposition 2.2.2, Equation 2.2.8). ISBN:9780817641665. مؤرشف من الأصل في 2013-06-04.