Usikan singular

Dalam matematika, lebih tepatnya dalam teori usikan, soal usikan singular adalah soal yang mengandung sebuah parameter kecil yang tak dapat diaproksimasi dengan menyusun nilai parameter menuju nol. Hal ini berlawanan dengan soal usikan reguler, di mana aproksimasi dapat diperoleh secara sederhana dengan menyusun parameter kecil menuju nol.

Lebih tepatnya lagi, solusi tak dapat secara serba sama diaproksimasi dengan ekspansi asimptotik

${\displaystyle \varphi (x)\approx \sum _{n=0}^{N}\delta _{n}(\varepsilon )\psi _{n}(x)\,}$

sebagaimana ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$. Di sini ${\displaystyle \varepsilon }$ adalah parameter kecil soal dan ${\displaystyle \delta _{n}(\varepsilon )}$ adalah barisan fungsi ${\displaystyle \varepsilon }$ urutan meningkat, semisal ${\displaystyle \delta _{n}(\varepsilon )=\varepsilon ^{n}}$. Hal ini berlawanan dengan soal usikan reguler, di mana aproksimasi serba sama bentuk ini dapat diperoleh.

Soal usikan singular secara umum dicirikan dengan dinamika yang beroperasi pada skala ganda. Beberapa contoh usikan singular diberikan di bawah.

Persamaan diferensial yang mengandung parameter kecil yang mengganda awal suku pangkat paling tinggi secara khas menunjukkan lapisan batas, sehingga solusi mencangkup dua skala berbeda. Untuk contoh, tinjau soal nilai batas.

${\displaystyle {\begin{matrix}\varepsilon u^{\prime \prime }(x)+u^{\prime }(x)=-e^{-x},\ \ 0<x<1\\u(0)=0,\ \ u(1)=1.\end{matrix}}}$

Solusinya ketika ${\displaystyle \varepsilon =0,1}$ adalah kurva solid ditunjukkan di bawah. Catat bahwa solusi berubah secara cepat dekat titik asal. Jika kita secara naif menyusun ${\displaystyle \varepsilon =0}$, kita akan memperoleh solusi berlabel "luar" di bawah mana tak tampak lapisan batas pada nol. Untuk lebih detail yang menunjukkan bagaimana memperoleh aproksimasi valid serba sama, lihat metode ekspansi asimptotik bersesuaian