Teorema Schinzel

Dalam geometri bilangan, teorema Schinzel berbunyi bahwa, untuk sebarang bilangan bulat positif yang diketahui ${\displaystyle n}$, terdapat sebuah lingkaran di dalam ruang Euklides yang melalui tepatnya ${\displaystyle n}$ titik bilangan bulat. Teorema ini dibuktikan oleh dan dinamai dari Andrzej Schinzel.[1][2]

Pembuktian

Lingkaran yang melalui tepatnya empat titik melalui konstruksi Schinzel

Schinzel membuktikan teorema ini melalui konstruksi berikut. Jika ${\displaystyle n}$ adalah bilangan genap, dengan ${\displaystyle n=2k}$, maka lingkaran tersebut melalui ${\displaystyle n}$ titik menurut persamaan berikut:[1][2] $${\displaystyle \left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{4}}5^{k-1}.}$$ Lingkaran ini memiliki jari-jari ${\displaystyle 5^{(k-1)/2}/2}$, dan pusatnya terletak di titik ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},0)}$. Sebagai contoh, pada ilustrasi gambar menunjukkan sebuah lingkaran dengan jari-jari ${\displaystyle {\sqrt {5}}/2}$ yang melalui empat titik bilangan bulat.

Mengalikan kedua ruas persamaan Schinzel oleh empat, menghasilkan persamaan yang ekuivalen dalam bentuk bilangan bulat, $${\displaystyle \left(2x-1\right)^{2}+(2y)^{2}=5^{k-1}.}$$ Ini menuliskan ${\displaystyle 5^{k-1}}$ sebagai penjumlahan dari dua bilangan kuadrat, dengan bilangan yang pertama adalah ganjil dan bilangan kedua adalah genap. Tepatnya, ada ${\displaystyle 4k}$ cara untuk menulis ${\displaystyle 5^{k-1}}$ sebagai penjumlahan dari dua bilangan kuadrat, dan sebagiannya ditulis sesuai urutan (ganjil, genap) berdasarkan simetri. Sebagai contoh, ${\displaystyle 5^{1}=(\pm 1)^{2}+(\pm 2)^{2}}$, sehingga didapatkan ${\displaystyle 2x-1=1}$ atau ${\displaystyle 2x-1=-1}$, dan ${\displaystyle 2y=2}$ atau ${\displaystyle 2y=-2}$, yang menghasilkan empat titik seperti pada ilustrasi gambar.

Di sisi lain, jika ${\displaystyle n}$ adalah ganjil, dengan ${\displaystyle n=2k+1}$, maka lingkaran tersebut, menurut persamaan, melalui tepatnya ${\displaystyle n}$ titik:[1][2] $${\displaystyle \left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}5^{2k}.}$$ Lingkaran ini memiliki jari-jari ${\displaystyle 5^{k}/3}$, dan pusatnya terletak pada titik ${\displaystyle ({\tfrac {1}{3}},0)}$.

References

1. Schinzel, André (1958), "Sur l'existence d'un cercle passant par un nombre donné de points aux coordonnées entières", L'Enseignement mathématique (dalam bahasa Prancis), 4: 71–72, MR 0098059 
2. Honsberger, Ross (1973), "Schinzel's theorem", Mathematical Gems I, Dolciani Mathematical Expositions, 1, Mathematical Association of America, hlm. 118–121