Resolusi (teori Galois)

Dalam teori Galois, disiplin dalam bidang aljabar abstrak, resolusi untuk grup permutasi G adalah polinomial koefisien yang bergantung secara polinomial pada koefisien polinomial tertentu p dan akar rasional jika dan hanya jika grup Galois dari p termasuk dalam G. Lebih tepatnya, jika grup Galois termasuk dalam G, maka resolusi memiliki akar rasional, dan sebaliknya jika akar rasional adalah akar sederhana. Resolusi ditemukan oleh Joseph Louis Lagrange dan secara sistematis digunakan oleh Évariste Galois. Saat ini mereka masih menggunakan alat fundamental untuk menghitung grup Galois. Contoh resolusi yang paling sederhana adalah

• ${\displaystyle X^{2}-\Delta }$ dimana ${\displaystyle \Delta }$ adalah diskriminan, yang merupakan resolvent untuk grup alternatif. Dalam kasus persamaan kubik, resolusi ini kadang disebut resolusi kuadrat; akar dari eksplisit dalam rumus untuk akar persamaan kubik.
• Resolusi kubik dari sebuah persamaan kuartik, yang merupakan penyekat untuk grup dihedral dari 8 elemen.
• Resolusi Cayley adalah resolusi untuk grup Galois resolubel maksimal dalam derajat lima. Polinomial dengan derajat 6.

Ketiga resolusi ini memiliki sifat seperabel, yang berarti, jika akar polinomial p tidak dapat disederhanakan. Tidak diketahui resolusi yang dapat dipisahkan untuk grup permutasi.

Untuk persamaan, akar dapat diekspresikan dalam bentuk akar dan akar pemecah untuk grup yang dapat larut, karena gugus Galois dari persamaan di atas bidang yang dihasilkan oleh akar ini dapat diselesaikan.

Definisi

Misalkan n adalah bilangan bulat positif, derajat dari persamaan yang dipertimbangkan, dan (X₁, ..., X_n) daftar tak tentu. Hal ini mendefinisikan polinomial generik dari derajat n

${\displaystyle F(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}E_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-X_{i}),}$

dimana E_i adalah i^ke polinomial simetris dasar.

Grup simetris S_n dari tindakan X_i dengan menggunakan induksi tindakan pada polinomial X_i. Pemusat dari polinomial tertentu di bawah tindakan trivial, tetapi beberapa polinomial memiliki penstabil yang lebih besar. Misalnya, penstabil polinomial simetris elementer adalah grup S_n. Jika penstabil non-trivial, polinomial ditetapkan oleh beberapa subgrup non-trivial G; sebagai invarian dari lG. Sebaliknya, subgrup G dari S_n, invarian dari G adalah resolusi invarian untuk G jika bukan merupakan invarian dari subgrup dari S_n.[1]

Invarian untuk subgrup tertentu G dari S_n relatif mudah; menjumlahkan orbit dari sebuah monomial di bawah S_n. Namun mungkin terjadi bahwa polinomial yang dihasilkan adalah invarian untuk grup. Misalnya, pertimbangkan kasus subgrup G dari S₄ dari urutan 4, terdiri dari (12)(34), (13)(24), (14)(23) dan identitas (untuk notasinya, lihat grup permutasi). Monomial tersebut X₁X₂ memberikan invarian 2(X₁X₂ + X₃X₄). Hal ini bukan invarian penyelesai untuk G, sebagai invarian oleh (12), pada kenyataannya, ini adalah invarian resolusi untuk subgrup dihedral ⟨(12), (1324)⟩, dan digunakan untuk mendefinisikan resolusi kubik dari persamaan kuartik.

Jika P adalah invarian penyelesaian untuk grup G dari indeks m, maka orbit di bawah S_n memiliki urutan m. Maka P₁, ..., P_m adalah elemen orbit. Maka polinomial

${\displaystyle R_{G}=\prod _{i=1}^{m}(Y-P_{i})}$

adalah invarian di bawah S_n. Jadi, ketika diperluas, koefisiennya adalah polinomial X_i invarian di bawah aksi grup simetri dan dengan diekspresikan sebagai polinomial dalam polinomial simetris elementer. Dengan, R_G adalah polinomial irreduksi Y koefisien polinomial F. Memiliki invarian resolvent sebagai akar, ini disebut resolusi (terkadang persamaan resolusi).

Pertimbangkan sekarang sebagai polinomial yang tidak dapat disederhanakan

${\displaystyle f(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),}$

dengan koefisien di bidang tertentu K (biasanya bidang rasional) dan akar x_i dalam ekstensi bidang tertutup aljabar. Mengganti X_i oleh x_i dan koefisien F oleh f yang mendahului, polinomial ${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$, juga disebut resolusi atau resolusi khusus dalam kasus ambiguitas). Jika grup Galois dari f ke G, maka spesialisasi dari resolusi invarian adalah invarian oleh G dan dengan akar dari ${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$ yang dimiliki K (rasional pada K). Sebaliknya jika ${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$ adalah akar rasional, yang bukan merupakan akar ganda, grup Galois dari f ke G.

Beberapa varian dalam istilah tersebut.

• Bergantung pada penulis atau pada konteks, resolusi merujuk ke resolusi invarian dari resolusi persamaan.
• Resolusi Galois adalah pemecah sehingga invarian penentu linear di akarnya.
• Resolusi Lagrange mengacu pada polinomial linear

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}X_{i}\omega ^{i}}$

dimana ${\displaystyle \omega }$ adalah akar satuan ke-n primitif. Hal ini adalah invarian dari resolusi Galois untuk grup identitas.

• Resolusi relatif didefinisikan sebagai resolusi, tetapi elemen dari subgrup tertentu H dari S_n, memiliki sifat, jika resolusi relatif untuk subgrup G dari H akar sederhana rasional dan grup Galois dari f ke H, maka grup Galois dari f ke G. Dalam konteks ini, resolusi biasa disebut resolusi mutlak.

Metode resolusi

Grup Galois dari polinomial derajat ${\displaystyle n}$ adalah ${\displaystyle S_{n}}$ atau subgrup. Jika polinomial dapat dipisahkan dan tidak dapat direduksi, maka gugus Galois yang bersesuaian adalah subgrup transitif.

Subgrup transitif dari ${\displaystyle S_{n}}$ membentuk grafik berarah: satu grup dapat menjadi subgrup dari beberapa grup. Satu resolusi dapat mengetahui apakah grup Galois dari sebuah polinomial adalah subgrup (tidak harus tepat) dari grup yang diberikan. Metode resolusi hanyalah cara sistematis untuk memeriksa grup satu per satu hingga hanya satu grup yang memungkinkan. Ini tidak berarti bahwa setiap grup harus diperiksa: setiap resolvent dapat membatalkan banyak grup yang memungkinkan. Misalnya, untuk polinomial derajat lima tidak diperlukan resolvent ${\displaystyle D_{5}}$: resolusi untuk ${\displaystyle A_{5}}$ dan ${\displaystyle M_{20}}$ memberikan informasi yang diinginkan.

Salah satu caranya adalah mulai dari subgrup maksimal (transitif) hingga subgrup ditemukan dan kemudian dilanjutkan dengan subgrup maksimalnya.

Referensi

1. http://www.alexhealy.net/papers/math250a.pdf

• Dickson, Leonard E. (1959). Algebraic Theories. New York: Dover Publications Inc. hlm. ix+276. ISBN 0-486-49573-6. 
• Girstmair, K. (1983). "On the computation of resolvents and Galois groups". Manuscripta Mathematica. 43 (2–3): 289–307. doi:10.1007/BF01165834.