Penyeragaman (teori himpunan)

Dalam teori himpunan, sebuah cabang matematika, aksioma penyeragaman merupakan sebuah bentuk lemah dari aksioma pemilihan. Ini menyatakan bahwa jika ${\displaystyle R}$ adalah sebuah himpunan bagian dari ${\displaystyle X\times Y}$, dimana ${\displaystyle X}$ dan ${\displaystyle Y}$ adalah ruang Polish, maka terdapat sebuah himpunan bagian ${\displaystyle f}$ dari ${\displaystyle R}$ yang merupakan sebuah fungsi parsial dari ${\displaystyle X}$ ke ${\displaystyle Y}$, dan yang ranahnya (himpunan semua ${\displaystyle x}$ sehingga ${\displaystyle f(x)}$ ada) sama

${\displaystyle \{x\in X\mid \exists y\in Y:(x,y)\in R\}}$

Seperti sebuah fungsi disebut sebuah fungsi penyeragaman untuk ${\displaystyle R}$, atau sebuah penyeragaman dari ${\displaystyle R}$

Penyeragaman mengenai relasi ${\displaystyle R}$ (berwarna biru terang) oleh fungsi ${\displaystyle f}$ (berwarna merah).

Untuk melihat hubungan dengan aksioma pemilihan, amatilah bahwa ${\displaystyle R}$ dapat dianggap sebagai menghubungkan, untuk setiap unsur ${\displaystyle X}$, sebuah himpunan bagian ${\displaystyle Y}$. Sebuah penyeragaman ${\displaystyle R}$ kemudian ambil tepatnya satu unsur dari masing-masing himpunan bagian, setiap kali himpunan bagiannya adalah takkosong. Demikian, memungkinkan himpunan sembarang ${\displaystyle X}$ dan ${\displaystyle Y}$ (daripada ruang Polish) akan membuat aksioma penyeragaman setara dengan aksioma pemilihan.

Sebuah kelas titik ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ dikatakan memiliki sifat penyeragaman jika setiap relasi ${\displaystyle R}$ di ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ dapat diseragamkan oleh sebuah fungsi parsial di ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$. Sifat penyeragaman disiratkan oleh sifat skala, setidaknya untuk kelas titik memadai bentuk tertentu.

Ini diikuti dari teori himpunan Zermelo–Fraenkel sendiri bahwa ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$ dan ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}}$ memiliki sifat penyeragaman. Ini diikuti dari keberadaan kardinal besar yang cukup bahwa

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{2n+1}^{1}}$ dan ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2n+2}^{1}}$ memiliki sifat penyeragaman untuk setiap bilangan asli ${\displaystyle n}$.
• Oleh karena itu, kumpulan himpunan projektif memiliki sifat penyeragaman.
• Setiap relasi di ${\displaystyle \mathrm {L} (R)}$ dapat diseragamkan, tapi tidak diperluakan oleh sebuah fungsi di ${\displaystyle \mathrm {L} (R)}$. Faktanya, ${\displaystyle \mathrm {L} (R)}$ tidak memiliki sifat penyeragaman (dengan setara, ${\displaystyle \mathrm {L} (R)}$ tidak memenuhi aksioma penyeragaman).
  • (Catatan: trivialnya bahwa setiap relasi di ${\displaystyle \mathrm {L} (R)}$ dapat diseragamkan di ${\displaystyle V}$, asumsi ${\displaystyle \mathrm {V} }$ memenuhi aksioma pemilihan. Poinnya adalah bahwa setiap relasi dapat diseragamkan dalam suatu model dalam transitif ${\displaystyle \mathrm {V} }$ di mana aksioma determinasi berlaku.)

Referensi

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0.