Oval Cartesius

Contoh oval Cartesius

Dalam geometri, oval Cartesius merupakan sebuah kurva bidang yang terdiri atas kumpulan titik yang memiliki kombinasi linear dengan jarak yang sama di antara dua titik tetap (fokus). Nama kurva ini diambil dari seorang matematikawan Prancis René Descartes, yang digunakan dalam bidang optik.

Definisi

Misalkan ${\displaystyle P}$ dan ${\displaystyle Q}$ merupakan titik tetap di bidang, dan misalkan ${\displaystyle d(P,S)}$ dan ${\displaystyle d(Q,R)}$ melambangkan jarak Euklides dari titik-titik ini ke suatu titik variabel ketiga ${\displaystyle S}$. Misalkan ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle a}$ bilangan real sembarang. Maka oval Cartesius merupakan tempat kedudukan (lokus) dari titik ${\displaystyle S}$ yang memenuhi ${\displaystyle d(P,S)+m\cdot d(Q,S)=a}$. Kedua oval tersebut yang dibentuk oleh empat persamaan ${\displaystyle d(P,S)+m\cdot d(Q,S)=\pm a}$ dan ${\displaystyle d(P,S)-m\cdot d(Q,S)=\pm a}$ saling berkait erat. Adanya oval-oval tersebut membentuk sebuah kurva bidang kuartik yang dikenal dengan nama oval Descartes.[1]

Kasus khusus

Dalam persamaan ${\displaystyle d(P,S)+m\cdot d(Q,S)=\pm a}$, ketika ${\displaystyle m=1}$ dan ${\displaystyle a>d(P,Q)}$, hasil bentuknya merupakan sebuah elips. Dalam kasus batas dengan ${\displaystyle P}$ dan ${\displaystyle Q}$ bertepatan, elipsnya membentuk sebuah lingkaran. Ketika ${\displaystyle m=a/d(P,Q)}$, maka oval tersebut merupakan sebuah limaçon Pascal. Jika ${\displaystyle m=-1}$ dan ${\displaystyle 0<a<d(P,Q)}$, persamaannya memberikan sebuah cabang hiperbola, dan demikian bukan merupakan sebuah oval tertutup.

Persamaan polinomial

Himpunan titik ${\displaystyle (x,y)}$ memenuhi persamaan polinomial kuartik[1][2]$${\displaystyle [(1-m^{2})(x^{2}+y^{2})+2m^{2}cx+a^{2}-m^{2}c^{2}]^{2}=4a^{2}(x^{2}+y^{2})}$$

dengan ${\displaystyle c}$ menyatakan jarak ${\displaystyle \mathrm {d} (P,Q)}$ diantara dua fokus tetap ${\displaystyle P=(0,0)}$ dan ${\displaystyle Q=(c,0)}$. Hal ini membentuk dua oval, dan himpunan titik-titiknya memenuhi dua dari empat persamaan.[2]$${\displaystyle {\begin{aligned}d(P,S)\pm m\cdot d(Q,S)&=a\\d(P,S)\pm m\cdot d(Q,S)&=-a\end{aligned}}}$$

yang memiliki penyelesaian real. Kedua oval tersebut saling lepas, kecuali dalam kasus bahwa ${\displaystyle P}$ atau ${\displaystyle Q}$ yang merupakan miliknya. Setidaknya salah satu dari keduanya yang tegak lurus dengan ${\displaystyle PQ}$ melalui titik ${\displaystyle P}$ dan ${\displaystyle Q}$ memotong kurva kuartik ini dalam empat titik real; sehingga demikian bahwa mereka selalu bersarang, dengan setidaknya salah satu dari dua titik ${\displaystyle P}$ dan ${\displaystyle Q}$ yang berisi di dalam dari keduanya.[2] Untuk suatu parametrisasi yang berbeda dan yang menghasilkan kuartik, lihat Lawrence.[3]

Penerapan dalam optik

Ketika Descartes menemukan, oval Cartesius dapat diguankan dalam desain lensa. Dengan memilih rasio jarak dari ${\displaystyle P}$ ke ${\displaystyle Q}$ untuk mencocokkan rasio sinus dalam hukum Snellius, dan menggunakan permukaan putar dari satu dari oval-oval ini, ini memungkinkan untuk mendesain apa yang disebut lensa aplanatik, bahwa tidak memiliki penyimpangan bola.[4]

Sebagai tambahan, jika sebuah muka gelombang berbentuk bola membiaskan cahaya melalui sebuah lensa berbentuk bola, atau pemantulan dari sebuah permukaan bola cekung, muka gelombang yang dibiaskan atau dipantulkan mengambila pada bentuk sebuah oval Cartesius. Kaustiknya dibentuk oleh penyimpangan bola dalam kasus ini dapat sebab digambarkan sebagai evolut oval Cartesius.[5]

Sejarah

Oval Descartes pertama kali dipelajari oleh René Descartes pada tahun 1637, dalam hubungan dengan penerapan-penerapannya dalam optik.

Kurva-kurva ini juga dipelajari oleh Newton pada awalnya di tahun 1664. Satu metode gambaran oval Cartesius khusus tertentu, sudah digunakan oleh Descartes, sejalan dengan sebuah konstruksi standar elips dengan meregangkan benang. Jika satunya meregang sebuah benang dari sebuah peniti pada satu fokus membungkus di sekitar peniti pada sebuah fokus kedua, dan mengikat ujung bebasnya dari benang ke sebuah pena, jalannya diambil oleh pena, dimana benangnya diregang secara ketat, membentuk sebuah oval Cartesius dengan sebuah rasio 2:1 di antara jarak dari dua fokus.[6] Namun, Newton menolak konstruksi-konstruksi tersebut karena tidak cukup teliti.[7] Dia mendefinisikan oval sebagai penyelesaian untuk sebuah persamaan diferensial, dikonstruksi

Matematiakwan Perancis Michel Chasles menemukan di abad ke-19 bahwa, jika sbeuah oval Cartesius didefinisikan oleh dua titik ${\displaystyle P}$ dan ${\displaystyle Q}$, maka itu merupakan sebuah titik ketiga ${\displaystyle R}$ secara umum pada garis yang sama sehingga oval yang sama juga didefinisikan oleh setiap pasangan ketiga titik ini.[8]

James Clerk Maxwell menemukan kembali kurva-kurva ini, dirampatnya ke kurva yang didefinisikan dengan menetapkan konstanta jumlah berbobot berjarak dari tiga fokus atau lebih, dan menulis sebuah makalan berjudul Observations on Circumscribed Figures Having a Plurality of Foci, and Radii of Various Proportions. Sebuah akun hasinya, berjudul On the description of oval curves, and those having a plurality of foci, ditulis oleh J.D. Forbes dan dipresentasikan ke Royal Society dari Edinburgh pada tahun 1846, ketika Maxwell masih muda ketika umur 14 (hampir 15).[9][10][11]

Lihat pula

• Oval Cassini
• Dua koordinat bipolar pusat

Referensi

1. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Cartesian Oval", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .
2. Rice, John Minot; Johnson, William Woolsey (1888), An elementary treatise on the differential calculus founded on the method of rates or fluxions (edisi ke-4th), J. Wiley, hlm. 295–299 .
3. Lawrence, J. Dennis (1972), A Catalog of Special Plane Curves, Dover, hlm. 155–157, ISBN 0-486-60288-5 .
4. Dijksterhuis, Fokko Jan (2004), Lenses and waves: Christiaan Huygens and the mathematical science of optics in the seventeenth century, Archimedes, New studies in the history and philosophy of science and technology, 9, Springer-Verlag, hlm. 13–14, ISBN 978-1-4020-2697-3 .
5. Percival, Archibald Stanley (1899), "Chapter XVI. Contour of the refracted wave-front. Caustics", Optics, a manual for students, Macmillan, hlm. 312–327 .
6. Gardner, Martin (2007), The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications, Springer-Verlag, hlm. 46–49, ISBN 978-0-387-25827-0 .
7. Guicciardini, Niccolò (2009), Isaac Newton on mathematical certainty and method, Transformations: Studies in the History of Science and Technology, 4, MIT Press, hlm. 49 & 104, ISBN 978-0-262-01317-8 .
8. Rice, John Minot; Johnson, William Woolsey (1888), An elementary treatise on the differential calculus founded on the method of rates or fluxions (edisi ke-4th), J. Wiley, hlm. 295–299 .
9. Gardner, Martin (2007), The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications, Springer-Verlag, hlm. 46–49, ISBN 978-0-387-25827-0 .
10. The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Edited by P.M. Harman, Volume I, 1846–1862, Cambridge University Press, pg. 35
11. MacTutor History of Mathematics archive

Pranala luar

• Weisstein, Eric W. "Cartesian Ovals". MathWorld. 
• Benjamin Williamson, An Elementary Treatise on the Differential Calculus, Containing the Theory of Plane Curves (1884)