Monoid (teori kategori)

Dalam teori kategori, cabang dari matematika, monoid (atau benda monoid) (M, μ, η) dalam kategori monoidal (C, ⊗, I) adalah objek M bersama dengan dua morfisme

μ: M ⊗ M → M disebut perkalian,
η: I → M adalah unit,

sedemikian rupa sehingga segi lima diagram

dan diagram unitor

Gambar di atas adalah sifat komutatif. Dalam notasi di atas, I adalah elemen satuan dan α, λ dan ρ adalah asosiatif, identitas kiri dan identitas kanan dari kategori monoid C.

Monoid yang lain, komonoid dalam kategori monoid C adalah monoid dalam kategori ganda C^op.

Misal, kategori monoidal C memiliki simetri γ. Monoid M dalam C adalah sifat komutatif dengan μ o γ = μ.

Contoh

Sebuah objek monoid dalam Himpunan, kategori himpunan (dengan struktur monoid induksi dari produk Kartesius), adalah monoid dalam arti biasa.
Objek monoid di Atas dengan kategori ruang topologi (dengan struktur monoid induksi dari topologi produk), adalah monoid topologi.
Objek monoid dalam kategori monoid (dengan produk langsung dari monoid) hanyalah sebuah monoid komutatif. Dengan menggunakan sifat Argumen Eckmann–Hilton.
Objek monoid dalam kategori semikisi-gabungan kompleks Sup (dengan struktur monoid induksi dari produk Kartesius) adalah kuantale unital.
Objek monoid (Ab, ⊗_Z, Z), kategori grup abelian, adalah gelanggang.
Untuk gelanggang komutatif R, objek monoid, khusus
- (R-Mod, ⊗_R, R), kategori modul di atas R, adalah aljabar-R.
- Kategori modul bertingkat adalah aljabar-R bertingkat.
- kategori kompleks rantai dari modul-R adalah aljabar bertingkat diferensial.
Objek monoid dalam K -Vekt, kategori ruang vektor-K (dengan hasil kali tensor), adalah aljabar-K, dan objek komonoid adalah koaljabar-K.
Untuk setiap kategori C, kategori [C, C] dari endofunktor memiliki struktur monoid yang diinduksi oleh komposisi dan identitas funktor I_C. Objek monoid [C,C] adalah monad dengan C.
Untuk kategori dengan produk hingga, setiap objek menjadi objek komonoid melalui morfisme diagonal $\Delta _{X}:X\to X\times X$ . Menggandakan dalam kategori dengan koproduk hingga untuk objek menjadi objek monoid dengan $id_{X}\sqcup id_{X}:X\sqcup X\to X$ .

Kategori monoid

Diberikan dua monoid (M, μ, η) dan (M', μ', η') dalam kategori monoidal C, morfisme f : M → M ' adalah morfisme monoid saat

f o μ = μ' o (f ⊗ f),
f o η = η'.

Dengan kata lain, diagram berikut

,

perjalanan.

Kategori monoid di C dan morfisme monoidnya ditulis Mon_C.^[1]

Lihat pula

Tindakan-S, kategori monoid yang bekerja pada himpunan

Referensi

^ Section VII.3 in Mac Lane, Saunders (1988). Categories for the working mathematician (edisi ke-4th corr. print.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90035-7.

Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berlin ISBN 3-11-015248-7

[1] Section VII.3 in Mac Lane, Saunders (1988). Categories for the working mathematician (edisi ke-4th corr. print.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90035-7.

[1]