Produk (teori kategori)

Dalam teori kategori, produk dari dua (atau lebih) objek dalam kategori adalah gagasan yang dirancang untuk esensi di balik konstruksi di bidang matematika lain seperti produk himpunan Kartesius, produk langsung dari grup atau gelanggang, dan produk dari ruang topologi. Pada dasarnya, produk dari suatu keluarga objek adalah objek "paling umum" untuk morfisme untuk setiap objek yang diberikan.

Definisi

Produk dari dua objek

Memperbaiki kategori $C$ . Misalkan $X 1$ dan $X 2$ menjadi objek $C$ . Hasil perkalian dari $X 1$ dan $X 2$ adalah objek $X$ , dilambangkan dengan $X 1 \times X 2$ , sepasang morfisme $π 1 : X \to X 1$ , $π 2 : X \to X 2$ menggunakan sifat universal berikut:

Untuk setiap objek $Y$ dan setiap sepasang morphisms $f 1 : Y \to X 1$ $f 2 : Y \to X 2$ terdapat unik morphism $f : Y \to X 1 \times X 2$ sehingga diagram berikut komutatif:

Properti[pranala nonaktif permanen] universal produk — Properti^{[pranala nonaktif permanen]} universal produk

Keberadaan produk tergantung pada $C$ atau $X 1$ dan $X 2$ . Jika tidak ada, untuk isomorfisma kanonik, karena sifat universal, jadi satu adalah tentang produk.

Morfisme $π 1$ dan $π 2$ disebut proyeksi kanonik atau morfisme proyeksi. Dengan $Y$ dan $f 1$ $f 2$ morfisme $f$ disebut produk dari morfisme $f 1$ dan $f 2$ dilambangkan $⟨ f 1, f 2 ⟩$ .

Produk dari keluarga arbitasi

Dua objek, dengan kumpulan objek arbitasi yang diindeks oleh himpunan $I$ .

Dengan keluarga objek $(X i) i \in I$ , produk dari keluarga merupakan objek $X$ dengan morfisme $π i : X \to X i$ dengan sifat universal berikut:

Untuk setiap objek $Y$ dan setiap keluarga morfisme indeks- $I$ $f i : Y \to X i$ , terdapat morfisme unik $f : Y \to X$ sehingga diagram berikut komutatif untuk semua $i$ di $I$ :

Produk dilambangkan sebagai $Π i \in I X i$ . Jika $I$ = {1, ..., $n$ }, maka dilambangkan $X 1 \times ... \times X n$ $X 1 \times ... \times X n$ $X 1 \times ... \times X n$ $X 1 \times ... \times X n$ dan produk dari morfisme dilambangkan $⟨ f 1, ..., f n ⟩$ .

Definisi persamaan

Atau, produk didefinisikan melalui persamaan. Jadi, misalnya, untuk produk biner:

Keberadaan $f$ dijamin dengan adanya operasi $⟨ -, - ⟩$ .
Komutatifitas diagram di atas dijamin oleh persamaan $\forall f 1, \forall f 2 \forall i \in {1, 2}, π i \circ ⟨ f 1, f 2 ⟩$ = $f i$ .
Keunikan $f$ dijamin oleh persamaan $\forall g : Y \to X 1 \times X 2, ⟨ π 1 \circ g, π 2 \circ g ⟩$ = $g$ ^[1]

Sebagai limit

Produk adalah kasus khusus dengan limit. Dilihat dengan menggunakan kategori diskrit (keluarga objek tanpa morfisme, selain morfisme identitas) sebagai diagram diperlukan untuk definisi limit. Objek diskrit berfungsi sebagai indeks komponen dan proyeksi. Jika kita menganggap diagram ini sebagai funktor, funktor dari himpunan indeks $I$ anggap sebagai kategori terpisah. Definisi produk kemudian bertepatan dengan definisi batas, ${f} i$ adalah kerucut dan proyeksi menjadi batas (kerucut limit).

Sifat universal

Sebagaimana limit adalah kasus khusus dari konstruksi universal, begitu pula produknya. Dimulai dengan definisi yang diberikan untuk sifat universal dari limit, ambillah $J$ sebagai kategori diskrit dengan dua objek, sehingga $C J$ adalah produk kategori $C \times C$ Fungsi diagonal $Δ : C \to C \times C$ denganpasangan berurutan $(X, X)$ ke setiap objek $X$ dan morfisme $f$ pasangan $(f, f)$ . Produk $X 1 \times X 2$ dalam $C$ diberikan oleh morfisme universal dari functor $Δ$ ke objek $(X 1, X 2)$ dalam $C \times C$ Morfisme universal ini terdiri dari objek $X$ dari $C$ dan morfisme $(X, X) \to (X 1, X 2)$ yang berisi proyeksi.

Contoh

Dalam kategori himpunan, produk (dalam pengertian teoretis kategori) adalah produk Kartesius. Diberikan keluarga himpunan $X i$ produk didefinisikan sebagai

Π i \in I X i

:= {

(x i) i \in I

|

\forall i \in I, x i \in X i

}

dengan proyeksi kanonik

π j : Π i \in I X i \to X j, π j ((x i) i \in I)

:=

x j

.

Diberikan setiap himpunan Y dengan keluarga fungsi $f i : Y \to X i$ , panah universal $f : Y \to Π i \in I X i$ didefinisikan oleh $f (y)$ : = $(f i (y)) i \in I$

Contoh lain:

Dalam kategori ruang topologi, hasil kali adalah ruang yang himpunan dasarnya adalah perkalian Kartesius dan yang mengusung topologi produk . Topologi produk adalah topologi korhimpunan dari semua proyeksi kontinu .
Dalam kategori modul beberapa gelanggang R, produknya adalah hasil kali Kartesius dengan penambahan komponen yang ditentukan dan perkalian distributif yang ditentukan.
Dalam kategori grup, produk adalah produk langsung dari grup diberikan oleh produk Kartesius dengan perkalian yang ditentukan berdasarkan komponen.
Dalam kategori grafik, hasil kali adalah produk tensor grafik.
Dalam kategori relasi, produk diberikan oleh satuan disjoin. (Kemungkinan sedikit mengejutkan karena kategori himpunan adalah subkategori dari kategori relasi.)
Dalam kategori varietas aljabar, produk diberikan oleh embedding Segre.
Dalam kategori monoid semi-abelian, produk diberikan oleh sejarah monoid.
Himpunan berurutan sebagian dapat diperlakukan sebagai kategori, menggunakan relasi urutan sebagai morfisme. Dalam hal ini produk dan koproduk berhubungan dengan batas bawah terbesar (pertemuan) dan batas atas terkecil (gabungan).

Diskusi

Contoh dimana produk tidak ada: Dalam kategori bidang, produk $Q$ × $F p$ tidak ada, karena tidak ada bidang dengan homomorfisme untuk $Q$ dan $F p$ .

Contoh lain: Produk kosong (misal $I$ adalah himpunan kosong) sama dengan objek terminal, dan beberapa kategori, seperti kategori grup tak hingga, tidak memiliki objek terminal: mengingat grup $G$ tak hingga ada banyak morfisme $ℤ \to G$ , jadi $G$ tidak bisa menjadi terminal.

Jika $I$ adalah himpunan sehingga semua produk untuk keluarga indeks dengan $I$ , maka dapat memperlakukan setiap produk sebagai funktor $C I \to C$ ^[2] Bagaimana fungsi ini memetakan objek sudah jelas. Pemetaan morfisme tidak kentara, karena produk morfisme yang didefinisikan di atas tidak sesuai. Pertama, pertimbangkan fungsi produk biner, yang merupakan bifunktor. Untuk $f 1 : X 1 \to Y 1, f 2 : X 2 \to Y 2$ maka mencari morfisme $X 1 \times X 2 \to Y 1 \times Y 2$ . Dengan memilih $⟨ f 1 o π 1, f 2 o π 2 ⟩$ . Operasi morfisme ini disebut produk morfisme kartesian.^[3] Kedua, pertimbangkan fungsi produk umum. Untuk keluarga ${X} i,{Y} i, f i : X i \to Y i$ kita harus menemukan morfisme $Π i \in I X i \to Π i \in I Y i$ . Kami memilih produk dari morfisme ${f i o π i} i$ .

Kategori dimana setiap himpunan objek hingga memiliki produk kadang-kadang disebut kategori kartesian^[4] (meskipun beberapa penulis menggunakan frasa ini untuk berarti "kategori dengan semua batas terbatas").

Produk bersifat asosiatif. Misalkan $C$ adalah kategori kartesian, fungsi produk telah dipilih seperti di atas, dan $1$ menunjukkan objek terminal $C$ Kami kemudian memiliki isomorfisme alami.

X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z\simeq X\times Y\times Z,

X\times 1\simeq 1\times X\simeq X,

X\times Y\simeq Y\times X.

Sifat ini secara formal dengan sifat monoid komutatif; kategori kartesius dengan produk hingga adalah contoh kategori monoidal simetris.

Distributivitas

Untuk setiap objek X, Y, dan Z dari kategori dengan produk hingga dan produk bersama, terdapat morfisme kanonik $X \times Y + X \times Z \to X \times (Y + Z)$ , dimana tanda tambah di sini menunjukkan koproduk. Untuk melihat ini, perhatikan bahwa sifat universal dari produk bersama $X \times Y + X \times Z$ keberadaan panah diagram berikut (panah induksi):

Sifat universal dari produk $X \times (Y + Z)$ kemudian menjamin morfisme $X \times Y + X \times Z \to X \times (Y + Z)$ disebabkan oleh panah pada diagram di atas. Kategori distributif adalah kategori di mana morfisme ini sebenarnya adalah isomorfisme. Jadi dalam kategori distributif isomorfisme kanonik

$X\times (Y+Z)\simeq (X\times Y)+(X\times Z)$

Lihat pula

Koproduk - dual produk
Funktor diagonal - ujung kiri dari fungsi produk.
Limit dan kolimit
Equalizer
Limit invers
Kategori tertutup Kartesius
Pengembalian kategori

Referensi

^ Lambek J., Scott P. J. (1988). Introduction to Higher-Order Categorical Logic. Cambridge University Press. hlm. 304.
^ Lane, S. Mac (1988). Categories for the working mathematician (edisi ke-1st). New York: Springer-Verlag. hlm. 37. ISBN 0-387-90035-7.
^ Michael Barr, Charles Wells (1999). Category Theory – Lecture Notes for ESSLLI. hlm. 62. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2011-04-13.
^ Michael Barr, Charles Wells (1999). Category Theory – Lecture Notes for ESSLLI. hlm. 62. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2011-04-13.

Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2015-04-21. Diakses tanggal 2021-02-20.
Barr, Michael; Charles Wells (1999). Category Theory for Computing Science (PDF). Les Publications CRM Montreal (publication PM023). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-03-04. Diakses tanggal 2016-03-21. Chapter 5.
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Definition 2.1.1 in Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of mathematics and its applications 50–51, 53 [i.e. 52]. Volume 1. Cambridge University Press. hlm. 39. ISBN 0-521-44178-1. Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of mathematics and its applications 50–51, 53 [i.e. 52]. Volume 1. Cambridge University Press. p. 39. ISBN 0-521-44178-1.

Pranala luar

Interactive Web page yang menghasilkan contoh produk dalam kategori himpunan hingga. Ditulis oleh Jocelyn Paine.
Product di nLab

Templat:Teori kategori

[1] Lambek J., Scott P. J. (1988). Introduction to Higher-Order Categorical Logic. Cambridge University Press. hlm. 304.

[2] Lane, S. Mac (1988). Categories for the working mathematician (edisi ke-1st). New York: Springer-Verlag. hlm. 37. ISBN 0-387-90035-7.

[esslli3-3] Michael Barr, Charles Wells (1999). Category Theory – Lecture Notes for ESSLLI. hlm. 62. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2011-04-13.

[esslli2-4] Michael Barr, Charles Wells (1999). Category Theory – Lecture Notes for ESSLLI. hlm. 62. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2011-04-13.

[1]

[2]

[3]

[4]