Konstanta Lévy

Dalam matematika, Konstanta Lévy (kadang-kadang dikenal sebagai Konstanta Khinchin-Lévy) muncul dalam ekspresi untuk perilaku asimptot dari penyebut konvergensi pecahan berlanjut.[1] Pada tahun 1935, matematikawan Soviet Aleksandr Khinchin menunjukkan[2] bahwa penyebut qn dari konvergensi ekspansi pecahan berlanjut dari hampir semua bilangan asli memenuhi

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{q_{n}}^{1/n}=\gamma }$

untuk beberapa konstanta γ. Segera setelah itu, pada tahun 1936, ahli matematika Prancis Paul Lévy menemukan[3] ekspresi eksplisit untuk konstanta, yaitu

${\displaystyle \gamma =e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3.275822918721811159787681882\ldots }$ (barisan A086702 pada OEIS)

Istilah "konstanta Lévy" kadang-kadang digunakan untuk merujuk ${\displaystyle \pi ^{2}/(12\ln 2)}$ (logaritma dari ungkapan di atas), yang kira-kira sama dengan 1,1865691104 ... Nilainya berasal dari ekspektasi asimtotik dari logaritma rasio penyebut berturut-turut, menggunakan distribusi Gauss-Kuzmin. Secara khusus, rasionya memiliki fungsi kerapatan asimptot

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z(z+1)\ln(2)}}}$

untuk ${\displaystyle z\geq 1}$ dan nol sebaliknya. Ini memberikan konstanta Lévy sebagai

${\displaystyle \ln(\gamma )=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln(z)}{z(z+1)\ln(2)}}dz=\int _{0}^{1}{\frac {\ln(z^{-1})}{(z+1)\ln(2)}}dz={\frac {\pi ^{2}}{12\ln(2)}}}$.

Logaritma basis-10 dari konstanta Lévy, yaitu sekitar 0,51532041 ..., adalah setengah dari kebalikan dari batas dalam teorema Lochs.

Referensi

1. A. Ya. Khinchin; Herbert Eagle (transl.) (1997), Continued fractions, Courier Dover Publications, hlm. 66, ISBN 978-0-486-69630-0 
2. [Reference given in Dover book] "Zur metrischen Kettenbruchtheorie," Compositio Matlzematica, 3, No.2, 275–285 (1936).
3. [Reference given in Dover book] P. Levy, Théorie de l'addition des variables aléatoires, Paris, 1937, p. 320.