Jumlah alikuot

Dalam teori bilangan, jumlah alikuot dari bilangan bulat positif ${\displaystyle n}$ adalah penjumlahan dari seluruh pembagi sejati dari ${\displaystyle n}$, yaitu seluruh pembagi ${\displaystyle n}$ kecuali ${\displaystyle n}$ itu sendiri. Ekspresi tersebut dinotasikan sebagai berikut:

${\displaystyle s(n)=\sum _{{d|n,} \atop {d\neq n}}d}$

Jumlah alikuot dapat digunakan untuk mengkarakterisasi banyak karakter bilangan, di antaranya adalah bilangan prima, bilangan sempurna, bilangan sosiabel, bilangan defisien, bilangan berlimpah, bilangan tak tersentuh, dan juga untuk menentukan barisan alikuot suatu bilangan.

Contoh

Pembagi sejati dari 12, yaitu bilangan pembagi positif 12 yang bukan 12 adalah 1, 2, 3, 4, dan 6, maka jumlah alikuot dari 12 adalah 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.

Nilai s(n) untuk n = 1, 2, 3, ... adalah:

0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ... (barisan A001065 pada OEIS)

Karakterisasi kelas bilangan

Fungsi penjumlahan alikuot dapat digunakan untuk mengkarakterisasi beberapa kelas bilangan penting, yaitu:

• 1 adalah satu-satunya bilangan yang jumlah alikuotnya 0.
• Suatu bilangan adalah prima jika dan hanya jika jumlah alikuotnya adalah 1.[1]
• Suatu bilangan sempurna jika jumlah alikuotnya sama dengan bilangan itu sendiri. Dalam definisi yang mirip, bilangan defisien dan bilangan berlimpah adalah bilangan yang jumlah alikuotnya lebih kecil dan lebih besar dari bilangan itu sendiri.[1]
• Bilangan kuasisempurna (jika bilangan tersebut ada) adalah bilangan ${\displaystyle n}$ yang jumlah alikuotnya sama dengan ${\displaystyle n+1}$.
• Bilangan hampir sempurna (termasuk ${\displaystyle 2^{n}}$, bilangan-bilangan yang diketahui sejauh ini) adalah bilangan ${\displaystyle n}$ yang jumlah alikuotnya sama dengan ${\displaystyle n-1}$.
• Bilangan tak tersentuh adalah bilangan yang bukan merupakan penjumlahan alikuot dari bilangan lainnya. Studi tentang bilangan tak tersentuh setidaknya dimulai dari masa Abu Mansur al-Baghdadi (sekitar tahun 1000 M), yang mengamati bahwa angka 2 dan 5 tidak dapat disentuh.[1][2] Paul Erdős membuktikan bahwa jumlah bilangan tak tersentik tidak terbatas.[3] Dugaan bahwa 5 adalah satu-satunya bilangan ganjil tak tersentuh masih belum terbukti, namun bilangan ini akan mengikuti bentuk konjektur Goldbach bersama dengan pengamatan bahwa, untuk bilangan semiprima ${\displaystyle pq}$, jumlah alikuotnya adalah ${\displaystyle p+q+1}$.[1]

Perulangan

Perulangan dari fungsi penjumlahan alikuot akan menghasilkan barisan alikuot ${\displaystyle n,s(n),s(s(n)),...}$ dengan ${\displaystyle n}$ adalah bilangan bulan bukan negatif. Dalam barisan alikuot ini, ${\displaystyle s(0)}$ didefinisikan sebagai 0, yaitu ${\displaystyle s(0)=0}$.

Dua kelas bilangan spesial yang ada dari baris alikuot ini adalah bilangan sosiabel dan bilangan akrab. Bilangan sosiabel adalah baris alikuotnya berupa barisan periodik. Bilangan akrab adalah bilangan sosiabel yang memiliki periode barisan 2.

Barisan alikuot ini dapat diakhiri oleh bilangan prima, bilangan sempurna, atau periode dari bilangan sosiabel.[4]

Referensi

1. Pollack, Paul; Pomerance, Carl (2016), "Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function", Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 3: 1–26, doi:10.1090/btran/10 , MR 3481968 
2. Sesiano, J. (1991), "Two problems of number theory in Islamic times", Archive for History of Exact Sciences, 41 (3): 235–238, doi:10.1007/BF00348408, JSTOR 41133889, MR 1107382  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
3. Erdős, P. (1973), "Über die Zahlen der Form ${\displaystyle \sigma (n)-n}$ und ${\displaystyle n-\phi (n)}$" (PDF), Elemente der Mathematik, 28: 83–86, MR 0337733 
4. Weisstein, Eric W. "Catalan's Aliquot Sequence Conjecture". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2024-06-05.