Himpunan cembung

Himpunan cembung

Dalam geometri, himpunan bagian dari suatu ruang Euklides (atau, lebih umumnya, ruang afin atas lapangan bilangan riil) dikatakan cembung jika untuk setiap dua titik anggota himpunan bagian, maka ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut terletak sepenuhnya di dalam himpunan bagian tersebut. Dapat juga dikatakan, himpunan cembung atau daerah cembung adalah himpunan bagian yang mengiris setiap garis menjadi suatu ruas garis tunggal (mungkin kosong).[1][2] Misal, kubus padat adalah himpunan cembung, tetapi apa pun yang berongga atau memiliki lekukan, misalnya, bentuk bulan sabit, bukan cembung.

Diagram Blaschke-Santaló

Himpunan ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{2}}$ dari semua benda cembung planar dapat menjadi parameter dalam bentuk diameter tubuh cembung ${\displaystyle D}$, jari-jari lingkaran dalam ${\displaystyle r}$ (lingkaran terbesar yang terkandung dalam tubuh cembung) dan jari-jari lingkaran luar ${\displaystyle R}$ (lingkaran terkecil berisi badan cembung). Bahkan, himpunan ini dapat dijelaskan oleh himpunan ketidaksetaraan yang diberikan oleh [3][4]

${\displaystyle {\begin{aligned}2r&\leq D\leq 2R\\R&\leq {\frac {\sqrt {3}}{3}}D\\r+R&\leq D\\D^{2}{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}}&\leq 2R(2R+{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}})\end{aligned}}}$

dan dapat divisualisasikan sebagai gambar dari fungsi ${\displaystyle g}$ yang memetakan tubuh cembung ke titik ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ yang diberikan oleh ${\textstyle \left({\frac {r}{R}},{\frac {D}{2R}}\right)}$. Gambar fungsi ini dikenal sebagai ${\displaystyle (r,D,R)}$ diagram Blachke-Santaló.

Diagram Blaschke-Santaló ${\displaystyle (r,D,R)}$ untuk tubuh cembung planar. ${\displaystyle \mathbb {L} }$ menunjukkan segmen garis, ${\displaystyle \mathbb {I} _{\frac {\pi }{3}}}$ segitiga sama sisi, ${\displaystyle \mathbb {RT} }$ segitiga Reuleaux dan ${\displaystyle \mathbb {B} _{2}}$ unit lingkaran.

Atau, himpunan ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{2}}$ juga dapat diukur dengan lebarnya (jarak terkecil antara dua hiperbidang paralel yang berbeda), perimeter dan luas.[3][4]

Himpunan cembung dan persegi panjang

Misalkan C menjadi badan cembung di pesawat. Kita dapat menuliskan ${\displaystyle r}$ persegi panjang di ${\displaystyle C}$ sehingga salinan homothetik ${\displaystyle R}$ dari ${\displaystyle r}$ dibatasi sekitar ${\displaystyle C}$. Rasio homothety positif paling banyak 2 dan:[5]

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \operatorname {Area} (R)\leq \operatorname {Area} (C)\leq 2\cdot \operatorname {Area} (r)}$

Referensi

1. Morris, Carla C.; Stark, Robert M. Finite Mathematics: Models and Applications (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. hlm. 121. ISBN 9781119015383. Diakses tanggal 5 April 2017. 
2. Kjeldsen, Tinne Hoff. "History of Convexity and Mathematical Programming" (PDF). Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM 2010): 3233–3257. doi:10.1142/9789814324359_0187. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2017-08-11. Diakses tanggal 5 April 2017.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
3. Santaló, L. (1961). "Sobre los sistemas completos de desigualdades entre tres elementos de una figura convexa planas". Mathematicae Notae. 17: 82–104. 
4. Brandenberg, René; González Merino, Bernardo (2017). "A complete 3-dimensional Blaschke-Santaló diagram". Mathematical Inequalities & Applications (dalam bahasa Inggris) (2): 301–348. doi:10.7153/mia-20-22 . ISSN 1331-4343. 
5. Lassak, M. (1993). "Approximation of convex bodies by rectangles". Geometriae Dedicata. 47: 111. doi:10.1007/BF01263495. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Convex subset", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Lectures on Convex Sets, notes by Niels Lauritzen, at Aarhus University, March 2010.