Sifat pembatalan

Halaman ini berisi artikel tentang perpanjangan 'pembalikan' dalam aljabar abstrak. Untuk pembatalan suku-suku dalam persamaan atau dalam aljabar dasar, lihat pembatalan.

Dalam matematika, pengertian dari pembatal adalah perampatan dari gagasan terbalikkan.

Sifat

Sifat-sifat diantaranya adalah:

• Unsur ${\displaystyle a}$ dalam magma ${\displaystyle (M,*)}$ memiliki sifat pembatalan ruas kiri jika untuk semua ${\displaystyle b}$ dan ${\displaystyle c}$ pada ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle a*b=a*c}$ selalu menyiratkan bahwa ${\displaystyle b=c}$.
• Unsur ${\displaystyle a}$ pada magma ${\displaystyle (M,*)}$ memiliki sifat pembatalan ruas kanan jika untuk semua ${\displaystyle b}$ dan ${\displaystyle c}$ pada ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle b*a=c*a}$ selalu menyiratkan ${\displaystyle b=c}$.
• Unsur ${\displaystyle a}$ dalam magma ${\displaystyle (M,*)}$ memiliki sifat pembatalan kedua ruas jika keduanya adalah pembatalan ruas kiri dan ruas kanan.
• Magma ${\displaystyle (M,*)}$ memiliki sifat pembatalan kiri jika semua ${\displaystyle a}$ di magma adalah sifat membatalkan ruas kiri, dan definisi serupa berlaku untuk sifat membatalkan ruas kanan atau sifat membatalkan kedua ruas.
• Unsur terbalikkan ruas kiri adalah pembatalan kiri, dan ini sejalan untuk ruas kanan dan kedua ruas.

Contoh mengenai sifat pembatalan, ialah: setiap kuasigrup, dan dengan demikian setiap grup, bersifat membatalkan.

Interpretasi

Untuk mengatakan bahwa unsur ${\displaystyle a}$ dalam magma ${\displaystyle (M,*)}$ adalah pembatal-kiri, artinya fungsinya ${\displaystyle g\colon x\mapsto a*x}$ adalah injektif.[1] Bahwa fungsi ${\displaystyle g}$ adalah injeksi menyiratkan bahwa diberikan beberapa persamaan bentuk ${\displaystyle a*x=b}$, di mana satu-satunya yang tidak diketahui adalah ${\displaystyle x}$, hanya ada satu kemungkinan nilai ${\displaystyle x}$ memenuhi persamaan. Lebih tepatnya, kita dapat mendefinisikan suatu fungsi ${\displaystyle f}$, kebalikan dari ${\displaystyle g}$, sehingga untuk semua ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f(g(x))=f(a*x)=x}$. Dengan kata lain, untuk semua ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ pada ${\displaystyle M}$, jika ${\displaystyle a*x=a*y}$, maka ${\displaystyle x=y}$.[2]

Contoh monoid pembatalan dan semigrup

Bilangan bulat positif (sama-sama taknegatif) membentuk sebuah pembatal semigrup terhadap penambahan. Bilangan bulat taknegatif membentuk pembatalan monoid di bawah penambahan.

Faktanya, semigrup atau monoid bebas mana pun mematuhi hukum pembatalan, dan secara umum, suatu semigrup atau monoid yang membenamkan ke dalam grup (seperti yang dengan jelas ditunjukkan dalam contoh di atas) akan mematuhi hukum pembatalan.

Dalam nada yang berbeda, (subgrup dari) semigrup perkalian unsur dari gelanggang yang bukan pembagi nol (yang hanya merupakan himpunan dari semua unsur bukan nol jika cincin yang dimaksud adalah ranah, seperti bilangan bulat) memiliki sifat pembatalan. Perhatikan bahwa ini tetap valid.

Struktur aljabar takmembatalkan

Meskipun hukum pembatalan berlaku untuk penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian bilangan real dan bilangan kompleks (dengan pengecualian tunggal perkalian dengan nol dan pembagian nol dengan bilangan lain), ada sejumlah struktur aljabar di mana hukum pembatalan tidak sah.

Perkalian silang dari dua vektor tidak mematuhi hukum pembatalan. Jika ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} }$, maka ini tidak mengikuti bahwa ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {c} }$ bahkan jika ${\displaystyle \mathbf {a} \neq 0}$.

Perkalian matriks juga tidak selalu mematuhi hukum pembatalan. Jika ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {A} \mathbf {C} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {A} \neq 0}$, maka salah satunya harus menunjukkan bahwa matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ terbalikkan (yaitu memiliki ${\displaystyle \det(\mathbf {A} )\neq 0}$, dimana ${\displaystyle \det }$ berarti determinan) sebelum salah satunya dapat menyimpulkan ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} }$. Jika ${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=0}$, maka ${\displaystyle \mathbf {B} }$ mungkin tidak sama dengan ${\displaystyle \mathbf {C} }$, karena matriks persamaan ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {B} }$ tidak akan memiliki penyelesaian tunggal untuk matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ takterbalikkan.

Perhatikan juga bahwa jika ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {C} \mathbf {A} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {A} \neq 0}$ dan matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah terbalikkan (yaitu memiliki ${\displaystyle \det(\mathbf {A} )\neq 0}$), itu belum tentu benar ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} }$. Pembatalan hanya bekerja untuk persamaan ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {A} \mathbf {C} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} =\mathbf {C} \mathbf {A} }$ (asalkan matriks itu ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah terbalikkan) dan bukan untuk persamaan ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {C} \mathbf {A} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {C} }$.

Lihat pula

• Grup Grothendieck
• Unsur terbalikkan
• Semigrup pembatalan
• Ranah integral

Referensi

1. Warner, Seth (1965). Modern Algebra Volume I. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. hlm. 50. 
2. Warner, Seth (1965). Modern Algebra Volume I. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. hlm. 48.