Nol pangkat nol

Nol pangkat nol, dilambangkan dengan 0^0, adalah ekspresi matematika berbasis eksponensiasi tanpa nilai yang disepakati. Kemungkinan yang paling umum adalah 1 atau membiarkan ekspresi tidak terdefinisi, dengan pembenaran yang ada untuk masing-masing, tergantung pada konteksnya. Dalam aljabar dan kombinatorika, nilai yang disepakati secara umum adalah 0^0 = 1, sedangkan dalam analisis matematis, ekspresi tersebut dibiarkan tidak terdefinisi. Hal ini karena nilai x^y memiliki hasil yang berbeda saat x dan y mendekati nol, tergantung pada proses limitnya. Ekspresi ini muncul pada masalah limit dan dapat menghasilkan berbagai nilai atau menuju tak terhingga, yang membuatnya susah untuk diberikan nilai yang konsisten pada kasus ini.

Pemberlakuan 0^0 juga berbeda di beberapa bahasa pemrograman dan perangkat lunak. Walaupun banyak yang mengikuti konvensi 0^0 = 1 untuk alasan praktis, bahasa lain membiarkannya tak terdefinisi atau memberikan galat, tergantung penggunaan. Hal ini merefleksikan ambigualitas dari ekspresi ini pada analisis matematika.

Pangkat diskrit

Banyak yang menggunakan formula yang melibatkan eksponen bilangan asli yang membutuhkan 0^0 agar didefinisikan sebagai 1. Misalnya, tiga interpretasi dari b^0 berikut masuk akal untuk b=0 seperti saat b adalah bilangan bulat positif:

• Interpretasi bahwa b^0 sebagai produk kosong [en] yang menghasilkan nilai 1.
• Interpretasi kombinatorial dari b^0 adalah jumlah dari rangkap nol elemen dari himpunan elemen b; terdapat hanya satu rangkap nol.
• Interpretasi teori himpunan dari b^0 adalah jumlah fungsi dari himpunan kosong terhadap himpunan elemen b; hanya terdapat satu fungsi, yaitu fungsi kosong.[1]

Semua spesialisasi tersebut memberikan nilai 0^0 = 1.

Continuous exponents

Grafik z = x^y. Garis merah (dengan z bernilai konstan) menghasilkan limit yang berbeda saat (x, y) mendekati (0, 0). Garis hijau (dari kemiringan konstan, y = ax) semuanya menghasilkan limit bernilai 1.

Limit yang melibatkan operasi aljabar sering dievaluasi dengan mengganti subekspresi dengan limit mereka. Jika hasil ekspesi tersebut menentukan limit awalnya, maka ekspresi tersebut dikenal sebagai bentuk tak tentu.[2] Ekspresi 0^0 adalah bentuk tak tentu. Misalnya ada fungsi bernilai bilangan asli f(t) dan g(t) mendekati 0 (ketika nilai t mendekati bilangan asli atau ±∞) dengan f(t) > 0, limit dari f(t)^g(t) dapat menjadi bilangan asli positif atau +∞, atau menjadi divergen, tergantung pada f dan g. Misalnya, setiap limit di bawah melibatkan fungsi f(t)^g(t) dengan f(t), g(t) → 0 saat t → 0^+ (sebuah limit sepihak), tapi nilai mereka berbeda:

$${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{t}=0,}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{-t}=+\infty ,}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t}\right)^{at}=e^{-a}.}$$

Maka, fungsi dengan dua variable x^y, meskipun kontinu pada set {(x, y) : x > )}, tidak dapat diperluas ke fungsi kontinu pada {(x, y) : x > 0} ∪ {(0, 0)}, tidak peduli bagaimana seseorang mendefinisikan 0^0.[3]

Sebaliknya, jika f dan g adalah fungsi analitik pada set angkat terbuka c, maka f(t)^g(t) → 1 ketika t mendekati c dari arah mana pun saat f bernilai positif.[4] Hal ini dan hasil yang lebih umum bisa didapatkan dengan mempelajari sifat pembatas dari fungsi log(f(t)^g(t)) = g(t) log(f(t)) . [5][6]

Referensi

1. Bourbaki, Nicolas (2004). "III.§3.5". Elements of Mathematics, Theory of Sets (dalam bahasa Inggris). Springer-Verlag. 
2. Malik, S. C.; Arora, Savita (1992). Mathematical Analysis (dalam bahasa Inggris). New York, USA: Wiley. hlm. 223. ISBN 978-81-224-0323-7. In general the limit of φ(x)/ψ(x) when x = a in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division (0/0) then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are ∞/∞, 0 × ∞, ∞ − ∞, 0^0, 1^∞ and ∞^0. 
3. Paige, L. J. (March 1954). "A note on indeterminate forms". American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 61 (3): 189–190. doi:10.2307/2307224. JSTOR 2307224. 
4. Möbius, A. F. (1834). "Beweis der Gleichung 0^0 = 1, nach J. F. Pfaff" [Pembuktian dari persamaan 0^0 = 1, menurut J. F. Pfaff]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (dalam bahasa Jerman). 1834 (12): 134–136. doi:10.1515/crll.1834.12.134.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
5. Baxley, John V.; Hayashi, Elmer K. (June 1978). "Indeterminate Forms of Exponential Type". The American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 85 (6): 484–486. doi:10.2307/2320074. JSTOR 2320074. Diakses tanggal 23 November 2021. 
6. Xiao, Jinsen; He, Jianxun (December 2017). "On Indeterminate Forms of Exponential Type". Mathematics Magazine (dalam bahasa Inggris). 90 (5): 371–374. doi:10.4169/math.mag.90.5.371. JSTOR 10.4169/math.mag.90.5.371. Diakses tanggal 23 November 2021.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)