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黑格纳数 （Heegner number）指滿足以下性質，非平方數 的正整數 ：其虚二次域 Q(√−d)的類数 为1，亦即其整數環 為唯一分解整環 [ 註解 1] [ 1]
黑格纳数只有以下九個：
1 , 2 , 3 , 7 , 11 , 19 , 43 , 67 , 163 。（OEIS 數列A003173 ）
高斯 曾猜測符合上述特性的數只有九個，但未提出證明，1952年庫爾特·黑格納 哈羅德·斯塔克 提出完整的證明，即為斯塔克–黑格納定理
歐拉的質數多項式 如下：
n
2
+
n
+
41
,
{\displaystyle n^{2}+n+41,\,}
在n = 1, ..., 40時會產生不同的40個質數，這相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.
歐拉公式，
n
{\displaystyle n}
n
2
+
n
+
41
,
{\displaystyle n^{2}+n+41,\,}
讓
n
{\displaystyle n}
[ 2]
n
2
+
n
+
p
{\displaystyle n^{2}+n+p\,}
在
n
=
0
,
…
,
p
−
2
{\displaystyle n=0,\dots ,p-2}
充份必要條件 為其判別式
1
−
4
p
{\displaystyle 1-4p}
（若代入
p
−
1
{\displaystyle p-1}
p
2
{\displaystyle p^{2}}
p
−
2
{\displaystyle p-2}
1, 2和3不符合要求，因此符合條件的黑格纳数為
7
,
11
,
19
,
43
,
67
,
163
{\displaystyle 7,11,19,43,67,163}
2
,
3
,
5
,
11
,
17
,
41
{\displaystyle 2,3,5,11,17,41}
弗朗索瓦·勒·利奥奈 歐拉的幸運數 [ 3]
拉马努金常数是
e
π
163
{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}
超越數 [ 4] 非常接近整数 ：
e
π
163
=
262
,
537
,
412
,
640
,
768
,
743.999
999
999
999
25
…
{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\ldots }
這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特 發現[ 5] 愚人節 的《科学美国人 》[ 6] 马丁·加德纳 故意聲稱這個數字其實是整數，而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉马努金 也預測了這個數很接近整數，因此以他的名字來命名。
這個巧合 可以用j-invariant 複數乘法 q展開 來表示。
^ Q(√−d)的整數環為唯一分解整環，也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式，例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在
Z
[
−
5
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}
2
×
3
{\displaystyle 2\times 3}
(
1
+
−
5
)
(
1
−
−
5
)
{\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}
^ Conway, John Horton ; Guy, Richard K. The Book of Numbers . Springer. 1996: 224 . ISBN 0-387-97993-X ^ Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
^ Weisstein, Eric W. (编). Transcendental Number . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） .
e
π
d
,
d
∈
Z
∗
{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}}
^ Barrow, John D. The Constants of Nature . London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6 ^ Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127.
![{\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37499ef27234d8a67a65932184280bb17301312)
