鏈環

在交換代數中，一個交換環 ${\displaystyle R}$ 被稱作鏈環，若且唯若對任何一對素理想

${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}}$

任何嚴格遞增的素理想鏈

${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {q}}}$

皆包含於一個從 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 到 ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ 的有限長極大鏈，而且此極大鏈的長度僅依賴於 ${\displaystyle {\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}}$。因此我們有一個從素理想對 ${\displaystyle \{({\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})\in \mathrm {Spec} (R)^{2}:{\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}\}}$ 至 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 的映射。在代數幾何上，此條件能理解為維度可明確定義。

一個環被稱為泛鏈環，若且唯若其上的任何有限生成代數都是鏈環。

例子

幾乎所有代數幾何中出現的諾特環都是泛鏈環，包括以下例子：

• 完備諾特局部環
• 戴德金環
• 域
• Cohen-Macaulay 環
• 泛鏈環的局部化仍為泛鏈環

非泛鏈環甚難構造。第一個例子由永田雅宜於1956年造出，這是個諾特局部整環，它是鏈環而非泛鏈環（見參考文獻 Local Rings 第 203 頁例 2）。

文獻

• H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9.
• Nagata, Masayoshi Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons,New York-London 1962, reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) ISBN 0882752286