此條目介紹的是
質數階乘。关于另一种用法,请见「
階乘質數」。
質數階乘(又稱:质数階乘)是所有小於或等於該數的質數的積,自然數n的質數階乘,寫作n#。例如10以下的質數有:2、3、5、7,所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n個質數階乘的值,寫作pn#。例:第三個質數為5,所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。
質數階乘與階乘不同於,質數階乘是質數乘積而階乘是自然數乘積。
質數階乘由Harvey Dubner定義並命名。
用質數定義
第n個質數pn的質數階乘pn#定義為前n個質數的積:[1][2]
其中pk是第k個質數。
例如,p5#代表前五個質數的乘積:
前幾個質數階乘pn#是:
- 2、 6、 30、 210、 2310、 30030、 510510、 9699690、 223092870、 6469693230、 ...(OEIS數列A002110)
並定義p0# = 1 為空積。
質數階乘pn#的漸進遞增為:
- [2]
其中:
用自然數定義
一般情況下,對於正整數n的一質數階乘n#(或稱作自然質數階乘)也可以被定義為:[1][3]
其中,π(n)是質數計數函數(OEIS數列A000720),表示小於或等於某個實數n的質數的個數。
它等於:
例如,12# 代表質數≤ 12:
因為π(12) = 5,所以這個算式也可以寫成:
前幾個自然質數階乘n#是:
- 1、 2、 6、 6、 30、 30、 210、 210、 210、 210、 2310、 2310
不難發現當n為合成數時,n#的值總是與(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p5# = 11#,因為12為合成數。
n#的自然對數是第一個切比雪夫函數,记為 或 。換句話說,若是不大於n的質數的質數階乘,則,或等價地,[4]
質數階乘n#的漸進遞增為:
質數階乘的概念可以用於證明素數是無限的。(參見證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式)
恆等式
黎曼ζ函數在超過1的正整數可以質數階乘與 Jordan's totient function 表示:
質數階乘列表(部分)
n
|
n#
|
pn
|
pn#
|
0
|
1
|
無質數
|
1
|
1
|
1
|
2
|
2
|
2
|
2
|
3
|
6
|
3
|
6
|
5
|
30
|
4
|
6
|
7
|
210
|
5
|
30
|
11
|
2310
|
6
|
30
|
13
|
30030
|
7
|
210
|
17
|
510510
|
8
|
210
|
19
|
9699690
|
9
|
210
|
23
|
223092870
|
10
|
210
|
29
|
6469693230
|
11
|
2310
|
31
|
200560490130
|
12
|
2310
|
37
|
7420738134810
|
13
|
30030
|
41
|
304250263527210
|
14
|
30030
|
43
|
13082761331670030
|
15
|
30030
|
47
|
614889782588491410
|
參見
參考文獻
- Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.