萊文斯坦距離

莱文斯坦距离（英語：Levenshtein distance）是编辑距离的一种。指两个字串之間，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。

允许的编辑操作包括：

1. 将一个字符替换成另一个字符
2. 插入一个字符
3. 刪除一个字符

俄羅斯科學家弗拉基米尔·莱文斯坦在1965年提出這個概念[1][2]。

定义

如果分别用 ${\displaystyle |a|}$ 和 ${\displaystyle |b|}$ 表示 ${\displaystyle a,b}$ 两个字符串的长度，那么它们的列文斯坦距离为 ${\displaystyle \operatorname {lev} _{a,b}(|a|,|b|)}$，它符合：

${\displaystyle \qquad \operatorname {lev} _{a,b}(i,j)={\begin{cases}\max(i,j)&{\text{ if }}\min(i,j)=0,\\\min {\begin{cases}\operatorname {lev} _{a,b}(i-1,j)+1\\\operatorname {lev} _{a,b}(i,j-1)+1\\\operatorname {lev} _{a,b}(i-1,j-1)+1_{(a_{i}\neq b_{j})}\end{cases}}&{\text{ otherwise.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle 1_{(a_{i}\neq b_{j})}}$ 是一个指示函数（indicator function），当 ${\displaystyle a_{i}=b_{j}}$ 时，其值为0，其他时候它等于 1 。

${\displaystyle \operatorname {lev} _{a,b}(i,j)}$表示 ${\displaystyle a}$ 的前 ${\displaystyle i}$ 个字符与 ${\displaystyle b}$ 的前 ${\displaystyle j}$ 个字符之间的列文斯坦距离。（ ${\displaystyle i}$ 和 ${\displaystyle j}$ 都是从1开始的下标）

注意：min运算中的第一个公式代表（ 从 ${\displaystyle a}$ 中）删除字符（以到达 ${\displaystyle b}$）；第二个公式代表插入字符；第三个代表替换（取决于当前字符是否相同）

例如

將“kitten”一字轉成“sitting”的萊文斯坦距离为3：

1. kitten → sitten （k→s）
2. sitten → sittin （e→i）
3. sittin → sitting （插入g）

應用

• DNA分析
• 拼写檢查
• 語音辨識
• 抄襲偵測

演算法

動態規劃經常被用來作為這個問題的解決手段之一。

int LevenshteinDistcance(string str1[1..lenStr1], string str2[1..lenStr2])
    int d[0..lenStr1, 0..lenStr2]
    int i, j, cost
 
    for i = 0 to lenStr2
       d[i, 0] := i
    for j = 0 to lenStr1
       d[0, j] := j
 
    for i = 1 to lenStr2
        for j = 1 to lenStr1
            if str2[i] = str1[j] 
                cost := 0
            else 
                cost := 1
            d[i, j] := min(
                                d[i-1, j  ] + 1,     // 删除
                                d[i  , j-1] + 1,     // 插入
                                d[i-1, j-1] + cost   // 替換
                            )
 
   return d[lenStr1, lenStr2]

參見

• 漢明距離
• 延森-香農距離
• 序列比對
• Soundex
• 最长公共子序列
• Floyd-Warshall算法
• Viterbi算法

参考文献

1. 王淼; 蔡忠闽; 沈超; 华涛. 行为截获技术对鼠标动力学身份认证的影响. 微电子学与计算机. 2013-04-01, 30 (4): 14–21 [2023-12-20]. ISSN 1000-7180. （原始内容存档于2023-12-20） （中文）. 
2. В. И. Левенштейн. Двоичные коды с исправлением выпадений, вставок и замещений символов [能够纠正删除、插入和反转的二进制代码]. Доклады Академии Наук СССР. 1965, 163 (4): 845–848 （俄语）.