图中白色和黑色方块完全分散，此时依据四邻规则计算的莫兰指数为-1。如果白色方块集中在棋盘的一半，黑色方块集中在另一半，随着方块数增加，莫兰指数会逼近+1。方块颜色随机排列时，莫兰指数会接近0。 统计学 中，莫兰指数 （Moran's I ）是Patrick Alfred Pierce Moran提出的一种空间自相关 度量。[ 1] [ 2] 自相关 更复杂，因为空间相关性是多维的（即空间的二维或三维）和多方向的。
全局莫兰指数（I
I
=
N
∑
i
=
1
N
∑
j
=
1
N
w
i
j
(
x
i
−
x
¯
)
(
x
j
−
x
¯
)
W
∑
i
=
1
N
(
x
i
−
x
¯
)
2
{\displaystyle I={\frac {N\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(x_{i}-{\bar {x}})(x_{j}-{\bar {x}})}{W\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}
其中：
N
{\displaystyle N}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
x
{\displaystyle x}
x
¯
{\displaystyle {\bar {x}}}
x
{\displaystyle x}
w
i
j
{\displaystyle w_{ij}}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
w
i
i
=
0
{\displaystyle w_{ii}=0}
W
{\displaystyle W}
w
i
j
{\displaystyle w_{ij}}
I {wij } 地理学第一定律 有关，该定律指出，所有事物都是相关的，但更接近的事物更相关——换句话说，该定律表明空间中存在距离衰减 ，尽管所有观测值都对其他观测值有影响，但在某个距离阈值后，其影响已经微弱得可以忽略不计。
其思路是构建一个矩阵，以准确地反映对讨论的特定空间现象的假设。一种常见的做法是，如果两个空间单元是邻居，则权重为1，否则为0（但“邻居”的定义可能会有所不同）。另一种常见的方法可能是给k 距离衰减 函数来分配权重。有时，共边的长度用于为邻居分配不同的权重。空间权重矩阵的选择应以研究的相关现象的理论为指导。I
在不存在空间自相关的虛無假說 下，莫兰指数的期望值为：
E
(
I
)
=
−
1
N
−
1
{\displaystyle E(I)={\frac {-1}{N-1}}}
对应该期望值的零分布是
x
{\displaystyle x}
π
{\displaystyle \pi }
在大样本量下（即N
其方差等于
Var
(
I
)
=
N
S
4
−
S
3
S
5
(
N
−
1
)
(
N
−
2
)
(
N
−
3
)
W
2
−
(
E
(
I
)
)
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (I)={\frac {NS_{4}-S_{3}S_{5}}{(N-1)(N-2)(N-3)W^{2}}}-(E(I))^{2}}
其中
S
1
=
1
2
∑
i
∑
j
(
w
i
j
+
w
j
i
)
2
{\displaystyle S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(w_{ij}+w_{ji})^{2}}
S
2
=
∑
i
(
∑
j
w
i
j
+
∑
j
w
j
i
)
2
{\displaystyle S_{2}=\sum _{i}\left(\sum _{j}w_{ij}+\sum _{j}w_{ji}\right)^{2}}
S
3
=
N
−
1
∑
i
(
x
i
−
x
¯
)
4
(
N
−
1
∑
i
(
x
i
−
x
¯
)
2
)
2
{\displaystyle S_{3}={\frac {N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{(N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2})^{2}}}}
S
4
=
(
N
2
−
3
N
+
3
)
S
1
−
N
S
2
+
3
W
2
{\displaystyle S_{4}=(N^{2}-3N+3)S_{1}-NS_{2}+3W^{2}}
S
5
=
(
N
2
−
N
)
S
1
−
2
N
S
2
+
6
W
2
{\displaystyle S_{5}=(N^{2}-N)S_{1}-2NS_{2}+6W^{2}}
[ 3] I -1/(N -1) -1/(N -1) 假說檢定 ，莫兰指数的值可以转换为Z-分数 。
莫兰指数与吉尔里C数
全局空间自相关分析只能得到一个概括整个研究区域的一个统计量。换句话说，全局分析假设空间是相对均质的。若该假设不成立，那么只有一个统计数据是意义不大，因为统计数据在空间上应该是不同的。
而且，即使不存在全局自相关或聚类，我们仍然可能通过局部空间自相关分析，在局部层面上找到聚类。“空间关联的局部指标”（local indicators of spatial association，LISA）利用莫兰指数是叉积 总和这一事实，通过计算每个空间单元的局部莫兰指数并评估每个Ii 卢卡·安瑟林 [ 4]
I
i
=
x
i
−
x
¯
m
2
∑
j
=
1
N
w
i
j
(
x
j
−
x
¯
)
{\displaystyle I_{i}={\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{m_{2}}}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(x_{j}-{\bar {x}})}
其中：
m
2
=
∑
i
=
1
N
(
x
i
−
x
¯
)
2
N
{\displaystyle m_{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{N}}}
因此，
I
=
∑
i
=
1
N
I
i
N
{\displaystyle I=\sum _{i=1}^{N}{\frac {I_{i}}{N}}}
I Ii N
空间关联的局部指标可以用GeoDa 软件来计算，其中就包含了局部莫兰指数的计算功能。[ 5]
莫兰指数广泛应用于地理学 和地理信息科学 领域。例子有：
^ Moran, P. A. P. Notes on Continuous Stochastic Phenomena. Biometrika. 1950, 37 (1): 17–23. JSTOR 2332142 PMID 15420245 doi:10.2307/2332142 ^ Li, Hongfei; Calder, Catherine A. ; Cressie, Noel . Beyond Moran's I : Testing for Spatial Dependence Based on the Spatial Autoregressive Model . Geographical Analysis. 2007, 39 (4): 357–375. doi:10.1111/j.1538-4632.2007.00708.x ^ Cliff and Ord (1981), Spatial Processes, London
^ Anselin, Luc. Local Indicators of Spatial Association—LISA . Geographical Analysis. 1995, 27 (2): 93–115 [2022-06-28 ] . doi:10.1111/j.1538-4632.1995.tb00338.x 原始内容 存档于2022-07-12）. ^ Anselin, Luc. Exploring Spatial Data with GeoDaTM : A Workbook (PDF) . Spatial Analysis Laboratory: 138. 2005 [2022-06-28 ] . （原始内容 (PDF) 存档于2021-06-14）. ^ Getis, Arthur. The Analysis of Spatial Association by Use of Distance Statistics. Geographical Analysis. 3 Sep 2010, 24 (3): 189–206. doi:10.1111/j.1538-4632.1992.tb00261.x ^ Helbich, M; Leitner, M; Kapusta, ND. Geospatial examination of lithium in drinking water and suicide mortality . Int J Health Geogr. 2012, 11 (1): 19. PMC 3441892 PMID 22695110 doi:10.1186/1476-072X-11-19 ^ Grieve, Jack. A regional analysis of contraction rate in written Standard American English . International Journal of Corpus Linguistics. 2011, 16 (4): 514–546. doi:10.1075/ijcl.16.4.04gri ^ Alvioli, M.; Marchesini, I.; Reichenbach, P.; Rossi, M.; Ardizzone, F.; Fiorucci, F.; Guzzetti, F. Automatic delineation of geomorphological slope units with r.slopeunits v1.0 and their optimization for landslide susceptibility modeling. Geoscientific Model Development. 2016, 9 : 3975–3991. doi:10.5194/gmd-9-3975-2016
