正4294967295邊形

正四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形
類型	正多邊形
對偶	正四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形（本身）
邊	4294967295
頂點	4294967295
對角線	9223372026117357570
施萊夫利符號	{4294967295}
考克斯特符號（英语：Coxeter–Dynkin diagram）
對稱群	二面體群 (D4294967295), order 2×4294967295
面積	${\displaystyle {\frac {4294967295}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{4294967295}}}$ ${\displaystyle \approx 1467945250957485488.60175a^{2}}$
內角（度）	${\displaystyle {\frac {773094112740}{4294967295}}^{\circ }=\,}$${\displaystyle 179{\frac {4294966935}{4294967295}}}$ ^o 179.99999991618°
內角和	773094112740°
特性	凸、圓內接多邊形、等邊多邊形、等角多邊形、等邊圖形
查 论 编

正4294967295边形是目前已知最大奇數的可作圖多邊形。其內角和角度為773,094,112,740度，對角線則有9,223,372,026,117,357,570條。

特别地，正4294967295邊形可以尺规作图（仅用直尺和圆规来作图）来完成。可以用尺规作图的多边形有无数个，只要是某些奇数的2次方倍的边数的多边形都可以尺规作图，然而奇数边数多边形已知能够尺规作图的边数只有31个，而正4294967295边形的边数是这些多边形当中最大的边数。这31个奇数边数可以可作图多边形的边数为3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295（OEIS數列A045544）。

性质

正4294967295边形的边数非常的多，几乎无法使其和一个正圆形区分开来。正4294967295边形的中心角的角度非常小，只有：

${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{4294967295}}\approx 8.389\times 10^{-8\ \circ }\approx 0.0003''}$

半径为1的圆内接正4294967295边形面积为：

${\displaystyle {\frac {4294967295}{2}}\sin {\frac {2\pi }{4294967295}}\approx 3.141592653589793237}$

其与圆的面积非常接近，这个数值也与圆周率非常接近，其中的17个位数完全与圆周率相同。其一个边的边长为：

${\displaystyle 2\sin {\frac {\pi }{4294967295}}\approx 1.462918\times 10^{-9}}$

这个多边形几乎无法和圆形区分开来。举例来说，半径为1000千米的圆内接正4294967295邊形，其边长略低于1.5毫米。 此外，假设地球是一个半径为6378千米的完美球体，并考虑内接于大圆（例如赤道）的正4294967295邊形，则其边长略低于1厘米。

可作图性

4294967295是

${\displaystyle 2^{2^{5}}-1}$

它的素数分解是

${\displaystyle 3\times 5\times 17\times 257\times 65537}$

是所有已知费马素数的乘积。卡尔·弗里德里希·高斯证明了正n边形可作图的充分必要条件是n是相异费马素数的乘积与2的幂的乘积，即：

${\displaystyle n=2^{m}F_{a}F_{b}\cdots F_{c}\quad }$（${\displaystyle F_{a},F_{b},\cdots ,F_{c}}$为相异费马素数，${\displaystyle m}$为非负整数）

因此，如果不存在大于65537的费马素数的猜想是正确的，那么正4294967295边形就是边数最多的可作图正奇数边数多边形。[1][2][3]

參考資料

1. Falko Lorenz, 2006, Algebra: Volume I: Fields and Galois Theory, p. 105. ISBN 9780387316086.
2. Edward A. Bender, S. Gill Williamson, 2005, A Short Course in Discrete Mathematics, p. 43. ISBN 9780486439464.
3. John Horton Conway, Richard Guy, 1998, The Book of Numbers, p. 140. ISBN 9780387979939.

參考書籍

• 美しくて感動する数の教室. PHP研究所. 2013: 133 [2022-07-10]. ISBN 978-4-5698-0969-4. （原始内容存档于2022-07-13）.