在数学 中,正交函数 (orthogonal functions )所属的函数空间 是有双线性形式 的向量空间 。当函数空间的定义域 是一个区间 ,双线性形式可能是积分式:
⟨ ⟨ -->
f
,
g
⟩ ⟩ -->
=
∫ ∫ -->
f
(
x
)
¯ ¯ -->
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx}
函数
f
{\displaystyle f}
与
g
{\displaystyle g}
在这个积分值是0时正交 ,即
⟨ ⟨ -->
f
,
g
⟩ ⟩ -->
=
0
{\displaystyle \langle f,\ g\rangle =0}
只要
f
≠ ≠ -->
g
{\displaystyle f\neq g}
。
如有限维空间中的向量基 一样,正交函数可以形成函数空间的无限基。从概念上讲,上述积分等效于矢量点积; 如果两个向量的点积为零,则它们是相互独立的(正交的)。
设
{
f
0
,
f
1
,
… … -->
}
{\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}
是非零L 2 -范数
‖ ‖ -->
f
n
‖ ‖ -->
2
=
⟨ ⟨ -->
f
n
,
f
n
⟩ ⟩ -->
=
(
∫ ∫ -->
f
n
2
d
x
)
1
2
{\displaystyle \Vert f_{n}\Vert _{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}
正交函数列。则数列
{
f
n
/
‖ ‖ -->
f
n
‖ ‖ -->
2
}
{\displaystyle \left\{f_{n}/\Vert f_{n}\Vert _{2}\right\}}
是L 2 -范数的函数,形成了一个正交数列 。一个有定义的L 2 -范数,积分必须有界,这限制了函数需要是平方可积函数 。
三角函数
几组正交函数在逼近函数时被用作标准基。例如,正弦函数sin nx 和sin mx 在积分区间
x
∈ ∈ -->
(
− − -->
π π -->
,
π π -->
)
{\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )}
上是正交的,这里
m
≠ ≠ -->
n
{\displaystyle m\neq n}
且n 和m 是正整数。而
2
sin
-->
(
m
x
)
sin
-->
(
n
x
)
=
cos
-->
(
(
m
− − -->
n
)
x
)
− − -->
cos
-->
(
(
m
+
n
)
x
)
{\displaystyle 2\sin(mx)\sin(nx)=\cos \left((m-n)x\right)-\cos \left((m+n)x\right)}
,
两个正弦函数的乘积的积分值就抵消了。[ 1] 加上余弦函数,这些正交函数可以用于组成一个三角多项式 ,通过傅里叶级数 在一个区间上逼近给定的函数。
多项式
对于单项式 序列
{
1
,
x
,
x
2
,
… … -->
}
{\displaystyle \{1,x,x^{2},\dots \}}
(区间
[
− − -->
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
)进行格拉姆-施密特正交化 可以得到勒让德多项式 。另一类正交多项式是伴随勒让德多项式 。
正交多项式的研究与权重
w
(
x
)
{\displaystyle w(x)}
有关:
⟨ ⟨ -->
f
,
g
⟩ ⟩ -->
=
∫ ∫ -->
w
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx}
。
对于
(
0
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle (0,\infty )}
区间上的拉盖尔多项式 ,权重函数是
w
(
x
)
=
e
− − -->
x
{\displaystyle w(x)=e^{-x}}
。
物理学家或概率论研究者在
(
− − -->
∞ ∞ -->
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
区间上使用埃尔米特多项式 ,权重是
w
(
x
)
=
e
− − -->
x
2
{\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}
或
w
(
x
)
=
e
− − -->
x
2
2
{\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}
。
切比雪夫多项式 定义在
[
− − -->
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
上,使用权重
w
(
x
)
=
1
1
− − -->
x
2
{\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
或
w
(
x
)
=
1
− − -->
x
2
{\displaystyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
。
泽尔尼克多项式 定义在单位圆 上,有径向正交性和角度正交性。
二值函数
沃尔什函数 和哈尔小波变换 是在离散区间上的正交函数的例子。
有理函数
切比雪夫有理函数图像,n=0,1,2,3和4,x在0.01和100之间。
勒让德多项式和切比雪夫多项式在[−1, 1] 上提供正交函数族,但偶尔需要[0, ∞) 上的正交函数族。这种情况下可以先使用Cayley变换 ,让参数在[−1, 1] 内。这个过程可以得到 有理 正交函数族,称为勒让德有理函数 和切比雪夫有理函数 。
在微分方程中
有边界条件的线性微分方程 的解常常可以写成带权重的正交函数的和,(即本征函数 ),进而有广义傅里叶级数 。
参见
参考资料
外部链接