戴德金分割(英語:Dedekind cut)是数学中对于全序集的操作。对于给定的全序集及其中某个元素而言,将分拆为两个非空集合,使得两者其一中所有元素(按照顺序)均在之前、另一真子集中所有元素均在之后。
常见的是对于全体有理数的操作,即。对于有理数,将有理数集合分拆为两个非空集合和,若和满足条件:
- ,关系式和必有且只有一个成立。
- ,,必有,并且和两者在不同时取等号时均成立。
则称这样的分拆为有理数的一个戴德金分割,记为。其中集合称为戴德金分割的下组,集合称为戴德金分割的上组。
分类
根据戴德金分割中和是否有最大数、最小数,可以将戴德金分割分为三种类型:
- 中有最大数,中无最小数
- 中无最大数,中有最小数
- 中无最大数,中无最小数
可以证明,“中有最大数,中有最小数」的情况并不存在。证明如下:
如果有最大数,有最小数,则根据分割的定义可知 。但是 显然也是有理数,并且 ,因此 既不在 中, 也不在 中,这就与 是全体有理数矛盾。
第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种「空隙」(和之间的界数),这个「空隙」所对应的数既不属于,也不属于,因此它不是有理数,它所对应的数就是无理数,因此说第3种情况的戴德金分割定义了一个无理数。
作为一个直观的理解,我们可以把上面三种分化分别看成 、 和 ,而“中有最大数、中有最小数”的情况就是 ,中间的分割点d同时(不合法地)属于两边集合。
例子
- 将所有小于或等于0的有理数划分为集合,将所有余下的有理数(即大于0的有理数)划分为集合,则是一个戴德金分割,并属于上述分类中的第1种情形。
- 将所有小于0的有理数划分为集合,将所有余下的有理数(即大于或等于0的有理数)划分为集合,则是一个戴德金分割,并属于上述分类中的第2种情形。
- 将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数(即满足的数)划分到集合,将余下的有理数(即其平方大于3的正有理数)划分到集合,则是一个戴德金分割,并属于上述分类中的第3种情形,此时戴德金分割定义了无理数。
定義大小
假设无理数由分划所确定,无理数由分划所确定,则
- 若集合或,则称无理数与相等,记为。
- 若集合(),则称无理数大于,记为。
无理数小于()的概念可由大于()的概念定义,即当且仅当。如此得到實數系的大小關係,其性質有:
- 任意实数,必有且只有下列关系式之一成立:。
- 传递性:若实数,则。对于小于()的情形,传递性同样成立。
所以該大小關係是全序關係。
参阅
参考文献