希爾伯特第七問題

希爾伯特第七問題是希爾伯特的23個問題之一，此問題涉及無理數及超越數。

命題敘述

給定以下兩個等價[1]敘述：

1. 在等腰三角形中，若底角和頂角的比值為無理數的代数数，則底邊和側邊長度的比值是否恆為超越數？
2. 若${\displaystyle b}$是无理数且为代数数、${\displaystyle a}$是非${\displaystyle 0,1}$的代数数，那么${\displaystyle a^{b}}$（例如${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$、${\displaystyle e^{\pi }}$=${\displaystyle i^{-2i}}$）是否恆為超越数？

問題的解決

第二個問題已于1934年由蘇聯數學家阿勒克山德·格爾豐德（俄语：Гельфонд, Александр Осипович）證明，德國數學家西奧多·施耐德也在1935年獨立證明此問題，他們證明的結果即為格尔丰德-施奈德定理（${\displaystyle b}$是無理數的條件是必要的，否則若a是代數數，b是有理數，${\displaystyle a^{b}}$一定是代數數)。

若以廣義的觀點來看，這是通用的對數線性形（linear form in logarithms）的一個例子

${\displaystyle b\ln {\alpha }+\ln {\beta }=0}$

格尔丰德曾研究對數線性形，後來被艾倫·貝克解決了，此稱為是格尔丰德猜想或是貝克定理（英语：Baker's theorem）。艾倫·貝克憑藉此一成果獲得1970年的菲爾茲獎。

在第二個問題成立後，也意味著第一個問題成立。

參照

• 格爾豐德-施奈德常數 ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$。
• 格尔丰德常数 ${\displaystyle e^{\pi }}$。

參考資料

1. Feldman; Nesterenko. Number Theory IV. Parshin, A. N. (编). Transcendental Numbers. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 1998: 146–147. ISBN 978-3-540-61467-8.  引文格式1维护：日期与年 (link)

文獻

• Tijdeman, Robert. On the Gel'fond–Baker method and its applications. Felix E. Browder (编). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.1. American Mathematical Society. 1976: 241–268. ISBN 978-0-8218-1428-4. Zbl 0341.10026. 
• Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 49 Second. 2007: 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002. 

外部連結

• English translation of Hilbert's original address （页面存档备份，存于互联网档案馆）