局部紧阿贝尔群

在调和分析、拓扑学与数论等数学领域中，局部紧阿贝尔群是具有特别方便拓扑的阿贝尔群。例如整数群（具有离散拓扑）、圆或实数（都具有通常拓扑）都是局部紧阿贝尔群。

定义与例子

有拓扑空间，若其底拓扑空间是局部紧豪斯多夫空间，则称拓扑空间是局部紧的；若底群的阿贝尔群，则称拓扑群是阿贝尔的。

局部紧阿贝尔群的例子有：

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$，其中n是正整数，向量加法为群作用。
• 正实数${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$，乘法为群作用。由指数映射与${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$同构。
• 任意具有离散拓扑的有限阿贝尔群。由有限生成阿貝爾群的基本定理，所有此种群都是循环群之积。
• 具有离散拓扑的整数${\displaystyle \mathbb {Z} }$，加法为群作用。
• 圆群，对环面记作${\displaystyle \mathbb {T} }$。这是模为1的复数群。${\displaystyle \mathbb {T} }$作为拓扑群同构于商群${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$。
• P进数域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$，加法为群作用，具有通常的P进拓扑。

对偶群

若G的局部紧阿贝尔群，则G的特征是G到圆群${\displaystyle \mathbb {T} }$的连续群同态。G上的特征集可组成局部紧阿贝尔群，称作G的对偶群，记作${\displaystyle {\widehat {G}}}$；其群作用是特征的逐点乘，特征的逆是其复共轭，特征空间的拓扑是紧集上的一致收敛拓扑（即紧致开拓扑，将${\displaystyle {\widehat {G}}}$视作G到${\displaystyle \mathbb {T} }$的所有连续函数空间的子集）。这种拓扑一般来说是不可度量的，但若G是可分局部紧阿贝尔群，则其对偶群可度量。 这类似于线性代数中的对偶空间：正如对域K上的向量空间V，对偶空间是${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,K)}$，对偶群${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )}$也如此。更抽象地说，它们都是可表函子，分别表为'K、${\displaystyle \mathbb {T} }$。

同构于对偶群的群（作为拓扑群）自对偶。实数与有限循环群是自对偶的，而实数群与对偶群并不自然同构，应视作两个不同的群。

对偶群的例子

${\displaystyle \mathbb {Z} }$的对偶群与圆群${\displaystyle \mathbb {T} }$同构。加法下的整数${\displaystyle \mathbb {Z} }$的有限循环群上的特征由其在生成子1上的值决定。因此，对${\displaystyle \mathbb {Z} }$上的特征${\displaystyle \chi }$，${\displaystyle \chi (n)=\chi (1)^{n}}$。此外，这个公式为${\displaystyle \mathbb {T} }$中任意选择的${\displaystyle \chi (1)}$定义了一个特征。这种情况下，紧集上的一致收敛拓扑就是逐点收敛拓扑，这是从复数继承来的圆群拓扑。

${\displaystyle \mathbb {T} }$的对偶规范同构于${\displaystyle \mathbb {Z} }$。事实上，${\displaystyle \mathbb {T} }$上的特征具有形式${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$，其中n是整数。由于${\displaystyle \mathbb {T} }$是紧的，所以其对偶群的拓扑是一致收敛拓扑，也就是离散拓扑。

实数群${\displaystyle \mathbb {R} }$是自对偶的，其上的特征具有形式${\displaystyle r\mapsto e^{i\theta r}}$，其中${\displaystyle \theta }$是实数。有了这些对偶性，下面介绍的傅里叶变换就与${\displaystyle \mathbb {R} }$上的经典傅里叶变换重合了。

同样，p-进数群${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$是自对偶的（实际上，${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$的任意有限扩张也是自对偶的）。由此可见，赋值向量环是自对偶的。

庞特里亚金对偶性

庞特里亚金对偶性断言，函子

${\displaystyle G\mapsto {\hat {G}}}$

在局部紧阿贝尔群范畴（具有连续态射）的对偶范畴与它本身之间诱导出一个等价关系：

${\displaystyle LCA^{op}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}LCA.}$

范畴论性质

Clausen (2017)证明，局部紧阿贝尔群范畴LCA大致可以度量整数和实数之间的差别。更确切地说，局部紧阿贝尔群范畴的代数K-理论谱，以及Z、R的都位于同一个同伦纤维序列中：

${\displaystyle K(\mathbf {Z} )\to K(\mathbf {R} )\to K(LCA).}$

参考文献

• Clausen, Dustin, A K-theoretic approach to Artin maps, 2017, arXiv:1703.07842v2