Các bài toán của Landau

Edmund Landau, nhà toán học Đức

Tại hội nghị toán học quốc tế năm 1912, Edmund Landau đã liệt kê ra bốn bài toán về số nguyên tố. Các bài toán được nói theo lời của ông "chưa thể tấn công được tại trạng thái hiện tại của toán học" và nay được gọi là các bài toán của Landau. Các bài toán đó như sau:

1. Giả thuyết Goldbach: Liệu mọi số chẵn lớn hơn 2 có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố?
2. Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi: Liệu có vô số số nguyên tố p sao cho p + 2 cũng là số nguyên tố?
3. Giả thuyết Legendre: Liệu có luôn tồn tại số nguyên tố nằm giữa hai số chính phương liên tiếp?
4. Liệu có vô số số nguyên tố p sao cho p − 1 là số chính phương? Nói cách khác: liệu có vô số nguyên tố có dạng n^2 + 1?

Tính đến năm 2023^[cập nhật], cả bốn bài toán vẫn chưa được giải.[1]

Quá trình giải

Giả thuyết Goldbach

Giả thuyết yếu của Goldbach phát biểu rằng mọi số lẻ lớn hơn 5 có thể viết thành của ba số nguyên tố, giả thuyết này là hệ quả của giả thuyết Goldbach. Ivan Vinogradov chứng minh giả thuyết yếu cho n đủ lớn (xem định lý Vinogradov) trong 1937,[2] lúc sau được Harald Helfgott mở rộng thành bài chứng minh đầy đủ cho giả thuyết yếu trong 2013.[3][4][5]

Định lý Chen, một dạng yếu hơn khác của giả thuyết, phát biểu rằng cho mọi n đủ lớn, ${\displaystyle 2n=p+q}$ trong đó p là số nguyên tố còn q là số nguyên tố hoặc nửa nguyên tố.[note 1] Bordignon, Johnston, và Starichkova,[6] sửa lại và củng cố bài của Yamada,[7] đưa ra bản cụ thể hơn của định lý Chen: mọi số chẵn lớn hơn ${\displaystyle e^{e^{34.5}}\approx 4.2\cdot 10^{417776432441823}}$ là tổng của số nguyên tố và tích của tối đa hai số hai nguyên tố. Bordignon & Starichkova[8] giảm nó đi còn về ${\displaystyle e^{e^{15.85}}\approx 3.6\cdot 10^{3321634}}$ nếu giả sử Giả thuyết Riemann tổng quát cho L-hàm Dirichlet.

Montgomery và Vaughan đã chứng minh tập ngoại lệ của các số chẵn không thể viết thành tổng của hai số nguyên tố có mật độ bằng không, mặc dù tập này vẫn chưa được chứng minh là hữu hạn.[9] Cận tốt nhất hiện tại trên tập ngoại lệ là ${\displaystyle E(x)<x^{0.72}}$ (với x đủ lớn) được tìm bởi Pintz,[10][11] và ${\displaystyle E(x)\ll x^{0.5}\log ^{3}x}$ dưới giả định RH, do Goldston tìm ra.[12]

Linnik đã chứng minh rằng các số chẵn đủ lớn có thể viết thành của tổng của hai số nguyên tố và một hằng số không hiệu quả K là luỹ thừa của 2.[13] Sau rất nhiều cải tiến (xem bài của Pintz[14]), Pintz và Ruzsa[15] đã rút về K = 8.

Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi

Yitang Zhang đã chứng minh rằng[16] có vô số cặp số nguyên tố có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 70 triệu, kết quả này sau được cải tiến chỉ còn 246 nhờ nỗ lực hợp tác của dự án Polymath.[17] Dưới giả thuyết Elliott–Halberstam tổng quát, kết quả chỉ lui về còn 6, mở rộng các công trình đi trước của Maynard[18] và Goldston, Pintz & Yıldırım.[19]

Trần Cảnh Nhuận chứng minh có vô số số nguyên tố p (sau được gọi là số nguyên tố Chen) sao cho p + 2 là số nguyên tố hoặc nửa nguyên tố.

Giả thuyết Legendre

Ta chỉ cần kiểm tra mỗi khoảng cách số nguyên tố bắt đầu từ p nhỏ hơn ${\displaystyle 2{\sqrt {p}}}$. Bảng của các khoảng cách tối đại cho thấy giả thuyết vẫn đúng cho đến 2^64 ≈ 1.8×10^19.[20] Nếu có ví dụ phản chứng gần kích thước đó thì nó cần phải có khoảng cách gấp trăm triệu lần khoảng cách trung bình.

Järviniemi,[21] cải tiến bài của Heath-Brown[22] và Matomäki,[23] chứng minh rằng có tối đa ${\displaystyle x^{7/100+\varepsilon }}$ số nguyên tố ngoại lệ có khoảng cách đứng sau lớn hơn ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$; cụ thể hơn, nghĩa là

${\displaystyle \sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>{\sqrt {p_{n}}}^{1/2}}{p_{n}\leq x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{0.57+\varepsilon }.}$

Một kết quả được tìm bởi Ingham chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố nằm giữa ${\displaystyle n^{3}}$ và ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ cho n đủ lớn.[24]

Số nguyên tố gần chính phương

Bài toán thứ tư của Landau hỏi liệu có vô số số nguyên tố có dạng ${\displaystyle p=n^{2}+1}$ với n nguyên. (Danh sách các số nguyên tố dưới dạng này nằm trong A002496.) Bài toán này là hệ quả của một số giả thuyết lý thuyết số khác chẳng hạn như giả thuyết Bunyakovsky và giả thuyết Bateman–Horn. Tính đến năm 2023^[cập nhật], bài toán này vẫn còn mở.

Một ví dụ của các số nguyên tố gần chính phương là số nguyên tố Fermat. Henryk Iwaniec chứng minh có vô số số có dạng ${\displaystyle n^{2}+1}$ và có tối đa hai ước nguyên tố.[25][26] Ankeny[27] và Kubilius[28] chứng minh rằng nếu giả sử giả thuyết Riemann mở rộng cho các L-hàm số trên ký tự Hecke, thì có vô số số nguyên tố dưới dạng ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$ với ${\displaystyle y=O(\log p)}$. Giả thuyết Landau là dạng mạnh hơn khi ${\displaystyle y=1}$. Kết quả tốt nhất không điều kiện là của Harman & Lewis[29] và nó cho ${\displaystyle y=O(p^{0.119})}$.

Merikoski,[30] cải tiến từ các công trình trước,[31][32][33][34][35] chứng minh có vô số số nguyên dạng ${\displaystyle n^{2}+1}$ có ước nguyên tố lớn nhất của nó ít nhất ${\displaystyle n^{1.279}}$.[note 2] Thay số mũ đó với 2 sẽ ra giả thuyết Landau.

Sàng Brun tìm ra cận trên của mật độ các số nguyên tố có dạng ${\displaystyle p=n^{2}+1}$: có ${\displaystyle O({\sqrt {x}}/\log x)}$ số nguyên tố như thế cho tới ${\displaystyle x}$. Do đó hầu như mọi số có dạng ${\displaystyle n^{2}+1}$ là hợp số.

Xem thêm

• Danh sách vấn đề mở trong toán học
• Các bài toán của Hilbert

Chú thích

1. Số nửa nguyên tố là tích của hai số nguyên tố
2. Merikoski đưa ra hai giả thuyết sẽ tăng số mũ đó lên 1.286 hoặc 1.312, tương ứng.

Tham khảo

1. Pintz, János (2009). “Landau's problems on primes”. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. 21 (2): 357–404. doi:10.5802/jtnb.676. ISSN 1246-7405.
2. I. M. Vinogradov. Representation of an odd number as a sum of three primes, Doklady Akademii Nauk SSSR, 15 (1937), pp. 291-294.
3. Helfgott, H.A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem". arΧiv:1305.2897 [math.NT]. 
4. Helfgott, H.A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". arΧiv:1205.5252 [math.NT]. 
5. Helfgott, H.A. (2013). "The ternary Goldbach conjecture is true". arΧiv:1312.7748 [math.NT]. 
6. Matteo Bordignon, Daniel R. Johnston, and Valeriia Starichkova, An explicit version of Chen's theorem
7. Yamada, Tomohiro (ngày 11 tháng 11 năm 2015). "Explicit Chen's theorem". arΧiv:1511.03409 [math.NT]. 
8. Matteo Bordignon, Valeriia Starichkova, An explicit version of Chen's theorem assuming the Generalized Riemann Hypothesis
9. Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (1975). “The exceptional set in Goldbach's problem” (PDF). Acta Arithmetica. 27: 353–370. doi:10.4064/aa-27-1-353-370.
10. Janos Pintz, A new explicit formula in the additive theory of primes with applications II. The exceptional set in Goldbach's problem, 2018 preprint
11. http://real.mtak.hu/124681/1/Cikk2020Rivista.pdf
12. D.A. Goldston, On Hardy and Littlewood’s contribution to the Goldbach conjecture. Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), pp. 115–155, Univ. Salerno, Salerno, 1992.
13. Yu V Linnik, Prime numbers and powers of two, Trudy Matematicheskogo Instituta imeni VA Steklova 38 (1951), pp. 152-169.
14. János Pintz, Approximations to the Goldbach and twin prime problem and gaps between consecutive primes, Probability and Number Theory (Kanazawa, 2005), Advanced Studies in Pure Mathematics 49, pp. 323–365. Math. Soc. Japan, Tokyo, 2007.
15. Pintz, J.; Ruzsa, I. Z. (tháng 7 năm 2020). “On Linnik's approximation to Goldbach's problem. II” (PDF). Acta Mathematica Hungarica. 161 (2): 569–582. doi:10.1007/s10474-020-01077-8. S2CID 225457520.
16. Yitang Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (2014), pp. 1121–1174 from Volume 179 (2014), Issue 3
17. D.H.J. Polymath (2014). “Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes”. Research in the Mathematical Sciences. 1 (12): 12. arXiv:1407.4897. doi:10.1186/s40687-014-0012-7. MR 3373710. S2CID 119699189.
18. J. Maynard (2015), Small gaps between primes. Annals of Mathematics 181(1): 383-413.
19. Alan Goldston, Daniel; Motohashi, Yoichi; Pintz, János; Yalçın Yıldırım, Cem (2006). “Small Gaps between Primes Exist”. Proceedings of the Japan Academy, Series A. 82 (4): 61–65. arXiv:math/0505300. doi:10.3792/pjaa.82.61. S2CID 18847478.
20. Dr. Thomas R. Nicely, First occurrence prime gaps
21. Olli Järviniemi, On large differences between consecutive primes, arXiv preprint (2022). arXiv:2212.10965 [math.NT]
22. Heath-Brown, Roger (tháng 10 năm 2020). “The Differences Between Consecutive Primes, V”. International Mathematics Research Notices. 2021 (22): 17514–17562. doi:10.1093/imrn/rnz295.
23. Kaisa Matomäki (2007). “Large differences between consecutive primes”. Quarterly Journal of Mathematics. 58 (4): 489–518. doi:10.1093/qmath/ham021..
24. Ingham, A. E. (1937). “On the difference between consecutive primes”. Quarterly Journal of Mathematics. 8 (1): 255–266. Bibcode:1937QJMat...8..255I. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255.
25. Iwaniec, H. (1978). “Almost-primes represented by quadratic polynomials”. Inventiones Mathematicae. 47 (2): 178–188. Bibcode:1978InMat..47..171I. doi:10.1007/BF01578070. S2CID 122656097.
26. Robert J. Lemke Oliver (2012). “Almost-primes represented by quadratic polynomials” (PDF). Acta Arithmetica. 151 (3): 241–261. doi:10.4064/aa151-3-2.^[liên kết hỏng].
27. N. C. Ankeny, Representations of primes by quadratic forms, Amer. J. Math. 74:4 (1952), pp. 913–919.
28. J. Kubilius, On a problem in the n-dimensional analytic theory of numbers, Vilniaus Valst. Univ. Mokslo Darbai. Mat. Fiz. Chem. Mokslu Ser., 4:5–43, 1955.
29. G. Harman and P. Lewis, Gaussian primes in narrow sectors. Mathematika, 48(1-2):119–135 (2003), 2001
30. Jori Merikoski, Largest prime factor of n^2+1, J. Eur. Math. Soc. (2022), published online first. arXiv:1908.08816 [math.NT]
31. de la Bretèche, Régis; Drappeau, Sary (2020), “Niveau de répartition des polynômes quadratiques et crible majorant pour les entiers friables”, Journal of the European Mathematical Society, 22 (5): 1577–1624, arXiv:1703.03197, doi:10.4171/JEMS/951, S2CID 146808221
32. Jean-Marc Deshouillers and Henryk Iwaniec, On the greatest prime factor of ${\displaystyle n^{2}+1}$, Annales de l'Institut Fourier 32:4 (1982), pp. 1–11.
33. Hooley, Christopher (tháng 7 năm 1967). “On the greatest prime factor of a quadratic polynomial”. Acta Mathematica. 117: 281–299. doi:10.1007/BF02395047.
34. J. Todd (1949), “A problem on arc tangent relations”, American Mathematical Monthly, 56 (8): 517–528, doi:10.2307/2305526, JSTOR 2305526
35. J. Ivanov, Uber die Primteiler der Zahlen vonder Form A+x^2, Bull. Acad. Sci. St. Petersburg 3 (1895), 361–367.

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Landau's Problems" từ MathWorld.