Паралелограм.
В Евклідовій геометрії
Сума квадратів довжин сторін паралелограма рівна сумі квадратів довжин його діагоналей .
(
A
B
)
2
+
(
B
C
)
2
+
(
C
D
)
2
+
(
D
A
)
2
=
(
A
C
)
2
+
(
B
D
)
2
.
{\displaystyle \ (AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}.}
В просторах зі скалярним добутком
В векторних просторах зі скалярним добутком , це правило виглядає так:
2
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
2
+
2
‖ ‖ -->
y
‖ ‖ -->
2
=
‖ ‖ -->
x
+
y
‖ ‖ -->
2
+
‖ ‖ -->
x
− − -->
y
‖ ‖ -->
2
{\displaystyle \ 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}}
де
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
2
=
⟨ ⟨ -->
x
,
x
⟩ ⟩ -->
.
{\displaystyle \ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}
В нормованих просторах
В нормованих векторних просторах де немає векторного добутку, але є норма (за визначенням), якщо вона задовільняє правило паралелограма, то для цього простору можна ввести скалярний добуток:
для дійсного простору
⟨ ⟨ -->
x
,
y
⟩ ⟩ -->
=
‖ ‖ -->
x
+
y
‖ ‖ -->
2
− − -->
‖ ‖ -->
x
− − -->
y
‖ ‖ -->
2
4
,
{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4},}
або
‖ ‖ -->
x
+
y
‖ ‖ -->
2
− − -->
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
2
− − -->
‖ ‖ -->
y
‖ ‖ -->
2
2
,
{\displaystyle {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2},}
або
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
2
+
‖ ‖ -->
y
‖ ‖ -->
2
− − -->
‖ ‖ -->
x
− − -->
y
‖ ‖ -->
2
2
.
{\displaystyle {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 2}.}
для комплексного простору
⟨ ⟨ -->
x
,
y
⟩ ⟩ -->
=
‖ ‖ -->
x
+
y
‖ ‖ -->
2
− − -->
‖ ‖ -->
x
− − -->
y
‖ ‖ -->
2
4
+
i
‖ ‖ -->
i
x
− − -->
y
‖ ‖ -->
2
− − -->
‖ ‖ -->
i
x
+
y
‖ ‖ -->
2
4
.
{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2} \over 4}.}
Вищенаведені формули називаються поляризаційною тотожністю .
Зрозуміло, що норма визначена через скалярний добуток наступним чином
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
2
=
⟨ ⟨ -->
x
,
x
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle }
задовільнятиме ці тотожності.
Поляризаційна тотожність
Поляризаційна тотожність часто використовується для перетворення банахових просторів в гільбертові .
Узагальнення
Якщо B — симетрична білінійна форма в векторному просторі, а квадратична форма Q визначена як
Q
(
v
)
=
B
(
v
,
v
)
{\displaystyle \ Q(v)=B(v,v)}
тоді
4
B
(
u
,
v
)
=
Q
(
u
+
v
)
− − -->
Q
(
u
− − -->
v
)
,
2
B
(
u
,
v
)
=
Q
(
u
+
v
)
− − -->
Q
(
u
)
− − -->
Q
(
v
)
,
2
B
(
u
,
v
)
=
Q
(
u
)
+
Q
(
v
)
− − -->
Q
(
u
− − -->
v
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{l}4B(u,v)=Q(u+v)-Q(u-v),\\2B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)=Q(u)+Q(v)-Q(u-v).\end{array}}}
Джерела