Микола Бугаєв народився в Тифліській губернії Російської імперії у родині військового лікаря кавказьких військ. У 1847 році був відправлений батьком до Москви навчатись у Першій московській гімназії. Уже з четвертого класа нічого не отримував із дому, заробляючи на прожиття виключно уроками; заклад скінчив із золотою медаллю.
1859 року, після закінчення університетського курсу, Бугаєву було запропоновано залишитися при Університеті задля готування до професури, але він відмовився, обравши кар'єру військовика — унтер-офіцера гренадерського саперного батальйону. Рівночасно був прийнятий екстерном до Миколаївського інженерного училища в Петербурзі. 1860 року, склавши іспити, Бугаєв дістав звання військового інженер-прапорщика.
