Альфа-форма або α-форма в обчислювальній геометрії — це сімейство кусково-лінійних кривих Евклідової площини, пов'язаних зі скінченною множиною точок. Вперше визначення ввели Едельсбруннер, Кіркпатрік та Зейдель[1] у 1983 році. Альфа-форма, що пов'язана з множиною точок, є узагальненням поняття опуклості, тобто кожна опукла оболонка є альфа-формою, але не кожна альфа-форма є опуклою оболонкою.
Інтуїтивно про α-форму можна думати так. Уявити величезну масу морозива, що створює і містить точки у вигляді твердих шматочків шоколаду. Використовуючи ложку для морозива сферичної форми ми видобуваємо все можливе морозиво з блоку, без натикання на шоколадні шматки, навіть утворюючи порожнини всередині (наприклад, частини недосяжні ззовні). Якщо після закінчення ми вирівняємо всі округлі грані в трикутники і відрізки ліній, ми отримаємо інтуїтивний опис того, що називається α-формою .
3)Якщо α < 0, це закрите додавання диска радіуса −1/α.
Ребро альфа-форми змальовується між двома членами набору кінцевих точок тоді , коли існує узагальнений диск з радіусом 1 / α , який містить весь набір точок і який має властивість: обидві точки лежать на його межі.
Якщо α =0, то альфа-форма, пов'язана з заданою кінцевою точкою, є опуклою оболонкою.
Альфа-комплекс
Альфа-форми тісно пов'язані з альфа-комплексами, підкомплексами тріангуляції Делоне. Кожне ребро або трикутник тріангуляції Делоне може бути пов'язаний з характерним радіусом найменшого кола, що містить це ребро або трикутник. Для кожного дійсного числаα, α-комплекс даного набору точок це симплікативна оболонка, утворена набором ребер трикутників, радіуси яких не більше 1/ α.
Об'єднання ребер трикутників у «α»-комплекс утворює форму, яка дуже нагадує «α»-форму; однак вона відрізняється тим, що має полігональні ребра. Зокрема, Едельсбруннер[2] в 1995 показав, що ці обидві форми — гомотопно еквівалентні. (У цій пізнішій роботі Едельсбруннер використовував назву «α — форма», щоб нагадати про об'єднання частин у «α»-комплекс. Також він називає пов'язану криволінійну форму «α» — тілом.)
Приклади
Цей метод може бути використаний для реконструкції поверхні Фермі з електронно-спектральної функції Блоха, що оцінюється на рівні рівняння Фермі, отриманої під час досліджень Гріна в загальному вивченні проблеми. Поверхня Фермі визначається як сукупність взаємних пропускних точок в першій зоні Бріллюена, де сигнал є найбільшим. Визначення може пояснити також випадки різних форм безпорядку.
N. Akkiraju, H. Edelsbrunner, M. Facello, P. Fu, E. P. Mucke, and C. Varela. «Alpha shapes: definition and software». In Proc. Internat. Comput. Geom. Software Workshop 1995, Minneapolis.
Edelsbrunner, Herbert (1995), Smooth surfaces for multi-scale shape representation, Foundations of software technology and theoretical computer science (Bangalore, 1995), Lecture Notes in Comput. Sci., т. 1026, Berlin: Springer, с. 391—412, MR1458090