Росток (математика)

Росток об'єкта на топологічному просторі висловлює локальні властивості об'єкта. У певному сенсі можна сказати, що це новий об'єкт, який переймає лише локальні властивості об'єкта, що його породив (найчастіше в ролі таких об'єктів виступають відображення). Очевидно, що різні функції можуть задавати один і той же росток. У такому випадку всі локальні властивості (неперервність, диференційовність і т. д.) у таких функцій збігаються і достатньо розглядати властивості не самих функцій, а лише їх ростків.

Формальне визначення

Росток відображень

Нехай є задана точка ${\displaystyle x}$ топологічного простору ${\displaystyle X}$ і два відображення ${\displaystyle f,\;g:X\to Y}$ в деяку множину ${\displaystyle Y}$. Тоді кажуть, що ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ належать одному й тому ж ростку в точці ${\displaystyle x}$, якщо є такий окіл ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$, для якого обмеження функцій ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle U}$ збігаються. Тобто,

${\displaystyle f|_{U}=g|_{U}}$

(Тобто ${\displaystyle \forall x'\in U,\;f(x')=g(x')}$).

Очевидно, що відношення належності до одного ростка в точці ${\displaystyle x}$ є відношенням еквівалентності. Це відношення записується як ${\displaystyle f\sim _{x}g}$. Зазвичай його позначають ${\displaystyle [f]_{x}.}$

Залежно від класу регулярності функцій можна розглядати і відповідні класи регулярності ростків — ростки неперервних функцій, ростки диференційовних функцій, ростки аналітичних функцій, ростки постійних функцій. Також поняття ростка поширюється на векторні поля, диференціальні форми і інші подібні об'єкти.

Росток множин

Аналогічно дві підмножини ${\displaystyle S,\;T\subset X}$ визначають один і той же росток в ${\displaystyle x}$, якщо існує окіл ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$, такий що:

${\displaystyle S\cap U=T\cap U.}$

Росток, що задається множиною ${\displaystyle S}$, позначають ${\displaystyle [S]_{x}}$. Відношення належності до одного ростка позначається як ${\displaystyle S\sim _{x}T}$.

Дві множини належать одному ростку множин тоді і тільки тоді коли їх характеристичні функції належать одному ростку функцій:

${\displaystyle S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.}$

Властивості

Якщо f і g належать одному ростку в точці x, тоді всі локальні властивості в них однакові, зокрема неперервність, диференційовність, аналітичність і т. д., Тому можна визначати неперервні чи диференційовні ростки в точці.

Якщо множина Y є векторним простором, тоді можна визначати суму ростків і множення на скаляр: для визначення [f]_x + [g]_x, спершу треба взяти представники ростка f і g, визначені в околах U і V, тоді [f]_x + [g]_x є ростком в точці x відображення f + g (де f + g визначене на ${\displaystyle \scriptstyle U\cap V}$). Подібно a[f]_x є ростком відображення af для деякого скаляра a.

Якщо на множині Y визначено множення то аналогічно до попереднього можна визначити множення ростків. Зокрема для дійснозначних чи комплекснозначних функцій можна визначити алгебру ростків в деякій точці.

Приклади класів ростків функцій

Якщо ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ мають додаткову структуру, можна визначити окремі важливі класи ростків функцій.

• Якщо ${\displaystyle X,Y}$ обидва є топологічними просторами, підмножина

${\displaystyle C^{0}(X,Y)\subset {\mbox{Hom}}(X,Y)\,}$

неперервних функцій визначає ростки неперервних функцій.

• Якщо ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ є гладкими многовидами, підмножини

${\displaystyle C^{k}(X,Y)\subset {\mbox{Hom}}(X,Y)\,}$

${\displaystyle k}$-раз неперервно диференційовних функцій, підмножина

${\displaystyle C^{\infty }(X,Y)=\bigcap _{k}C^{k}(X,Y)\subset {\mbox{Hom}}(X,Y)\,}$

гладких функцій і підмножина

${\displaystyle C^{\omega }(X,Y)\subset {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

аналітичних функцій визначають ростки k-раз диференційовних, гладких, і аналітичних функцій.

• Якщо ${\displaystyle X,Y}$ мають комплексну структуру (наприклад є підмножинами комплексних векторних просторів), між ними можна визначити голоморфні функцій і відповідно ростки голоморфних функцій.
• Якщо на ${\displaystyle X,Y}$ задані алгебраїчні структури, між ними можна визначити регулярні і раціональні функції і відповідно ростки регулярних функцій' і ростки раціональних функцій.

Див. також

• Пучок (математика)

Література

• Nicolas Bourbaki (1989). General Topology. Chapters 1-4 (вид. paperback). Springer-Verlag. ISBN 3-540-64241-2.
• Raghavan Narasimhan (1973). Analysis on Real and Complex Manifolds (вид. 2nd). North-Holland Elsevier. ISBN 0-7204-2501-8.
• Robert C. Gunning, Hugo Rossi (1965). Analytic Functions of Several Complex Variables. Prentice-Hall.