Пропорція (математика)

Приклад пропорції

Пропо́рція (від лат. proportio — рівняю) — в математиці рівність двох відношень.
Записується як:

${\displaystyle a:b=c:d}$

або як:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$

І читається: «a відноситься до b так само, як c відноситься до d».
У пропорції всі члени натуральні. Члени a та d називають крайніми членами пропорції, а b та c — середніми.

Властивості пропорції

Основна властивість

У пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.
Якщо ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то ${\displaystyle ad=bc}$
Наприклад,

${\displaystyle {\frac {3}{20}}={\frac {6}{40}}}$

${\displaystyle 3\times 40=20\times 6=120}$

Властивість обернення

У пропорції, якщо переставити місцем перший крайній член із першим середнім членом, а другий середній — із другим крайнім, то знову вийде пропорція.
Якщо ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то ${\displaystyle {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}}$
Наприклад, ${\displaystyle {\frac {4}{12}}={\frac {20}{60}}}$

${\displaystyle {\frac {12}{4}}={\frac {60}{20}}}$

Перевіримо основною властивостю:

${\displaystyle 12\times 20=4\times 60=240}$

Властивість переставляння

У пропорції, якщо поміняти місцями крайні або середні члени, або і ті і ті, знову вийде пропорція.
Якщо ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то ${\displaystyle {\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}}$, ${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}}$, :${\displaystyle {\frac {d}{c}}={\frac {b}{a}}}$
Наприклад, ${\displaystyle {\frac {5}{6}}={\frac {30}{36}}}$

${\displaystyle {\frac {36}{6}}={\frac {30}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {5}{30}}={\frac {6}{36}}}$

${\displaystyle {\frac {36}{30}}={\frac {6}{5}}}$

Перевірімо:

${\displaystyle 36\times 5=6\times 30=5\times 36=30\times 6=36\times 5=30\times 6=180}$

Властивості додавання і віднімання

Властивість додавання

У пропорції сума першого і другого членів відноситься до першого або другого члена так само, як сума третього і четвертого членів відноситься до третього або четвертого члена.
Якщо ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то ${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {c+d}{c}}}$, ${\displaystyle {\frac {a+b}{b}}={\frac {c+d}{d}}}$
Наприклад:

${\displaystyle {\frac {5}{10}}={\frac {30}{60}}}$

${\displaystyle {\frac {5+10}{5}}={\frac {30+60}{30}}={\frac {15}{5}}={\frac {90}{30}}}$

${\displaystyle {\frac {5+10}{10}}={\frac {30+60}{60}}={\frac {15}{10}}={\frac {90}{60}}}$

Перевірімо:

${\displaystyle 15\times 30=5\times 90=450}$

${\displaystyle 15\times 60=10\times 90=900}$

Властивість віднімання

У пропорції, якщо перший член більший за другий (і тому третій член більший за четвертий) різниця першого і другого членів відноситься до першого або другого члена так само, як різниця третього і четвертого членів відноситься до третього або четвертого члена.
Якщо ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$ (де ${\displaystyle a>b}$ і ${\displaystyle c>d}$), то ${\displaystyle {\frac {a-b}{a}}={\frac {c-d}{c}}}$, :${\displaystyle {\frac {a-b}{b}}={\frac {c-d}{d}}}$
Наприклад:

${\displaystyle {\frac {50}{15}}={\frac {10}{3}}}$

${\displaystyle {\frac {50-15}{50}}={\frac {10-3}{10}}={\frac {35}{50}}={\frac {7}{10}}}$

${\displaystyle {\frac {50-15}{15}}={\frac {10-3}{3}}={\frac {35}{15}}={\frac {7}{3}}}$

Перевірмо:

${\displaystyle 35\times 10=50\times 7=350}$

${\displaystyle 35\times 3=15\times 7=105}$

Знаходження членів пропорції

Невідомий крайній

Щоб знайти невідомий крайній, достатньо поділити добуток середніх членів на відомий крайній.
Якщо ${\displaystyle {\frac {x}{a}}={\frac {b}{c}}}$, то ${\displaystyle x={\frac {ab}{c}}}$
Наприклад:

${\displaystyle {\frac {x}{6}}={\frac {30}{90}}}$

${\displaystyle x={\frac {6\times 30}{90}}={\frac {180}{90}}=2}$

Невідомий середній

Щоб знайти невідомий середній, достатньо добуток крайніх членів поділити на відомий середній.
Якщо ${\displaystyle {\frac {a}{x}}={\frac {b}{c}}}$, то ${\displaystyle x={\frac {ac}{b}}}$
Наприклад:

${\displaystyle {\frac {15}{x}}={\frac {30}{10}}}$

${\displaystyle x={\frac {15\times 10}{30}}={\frac {150}{30}}=5}$

Невідомий середній, якщо середні члени однакові

Щоб знайти невідомий середній, якщо середні члени однакові, достатньо знайти квадратний корінь добутку крайніх членів.
Якщо ${\displaystyle {\frac {a}{x}}={\frac {x}{b}}}$
, то ${\displaystyle x={\sqrt {ab}}}$
Наприклад:

${\displaystyle {\frac {6}{x}}={\frac {x}{600}}}$

${\displaystyle x={\sqrt {6\times 600}}={\sqrt {3600}}=60}$

Як знаходити невідомі середній і крайній

Як знаходити невідомі середній і крайній, знаючи суму відомих середнього і крайнього

Достатньо додати відомі члени, потім знайти такі числа, до якого сума невідомих членів відноситься так само, як сума відомих членів до кожного з них:
Якщо ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {x}{y}}}$, то:

• ${\displaystyle x={\frac {(x+y)a}{a+b}}}$
• ${\displaystyle y={\frac {(x+y)b}{a+b}}}$

Наприклад:

${\displaystyle {\frac {10}{12}}={\frac {x}{y}}}$, де ${\displaystyle x+y=66}$

${\displaystyle 10+12=22}$

${\displaystyle x={\frac {66\times 10}{22}}={\frac {660}{22}}=30}$

${\displaystyle y={\frac {66\times 12}{22}}={\frac {792}{22}}=36}$

Як знаходити невідомі середній і крайній, знаючи різницю відомих середнього і крайнього

Достатньо відняти відомі члени, потім знайти такі числа, до якого різниці невідомих членів відноситься так само, як різниця відомих членів до кожного з них:
Якщо ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {x}{y}}}$, то:

• ${\displaystyle x={\frac {(x-y)a}{a-b}}}$
• ${\displaystyle y={\frac {(x-y)b}{a-b}}}$

Наприклад:

${\displaystyle {\frac {15}{9}}={\frac {x}{y}}}$, де ${\displaystyle x-y=12}$

${\displaystyle 15-9=6}$

${\displaystyle x={\frac {12\times 15}{6}}={\frac {180}{6}}=30}$

${\displaystyle y={\frac {12\times 9}{6}}={\frac {108}{6}}=18}$

Пропорційні величини

Прямо пропорційні величини

Уявімо, що ми купили 1 кг яблук і заплатили 8 грн. Якщо ми купимо 2 кг, то заплатимо 16 грн., якщо 3 — то 24 грн. і т. д.
Маса наших яблук завжди так само відноситься до кошту. Якщо поїзд рухається зі швидкостю 30 км/год, то за 2 години він проїде 60 км, за 3 — 90 км і т. д.

Маса яблук і кошт, або час, за який рухається поїзд, називають прямо пропорційними величинами. Взагалі, дві величини прямо пропорційні, коли, якщо збільшити або зменшити в певну кількість раз першу, то друга збільшується або зменшується в стільки раз, тобто ці величини можна записати як

${\displaystyle x=ky}$

де k — коефіцієнт пропорційності.

Обернено пропорційні величини

Очевидно, що чим більше людей думають про те, щоб прибрати в будинку, тим менше часу треба буде. Якщо самому треба 10 год, то вдвох — 5 год, в трьох — 3^1/₃ год і т. д. Кількість людей, які прибирають, і час, — обернено пропорційні величини. Дві величини обернено пропорційні, якщо, коли помножити на якесь число першу, то друга помножиться на обернений дріб.

Див. також

• Співвідношення
• Пропорція (архітектура)
• Відношення
• Рівняння
• Частка
• Доля

Джерела

Література

• М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974

Посилання

• Динамічні математичні моделі FIZMA.neT