Поверхня Боя

Анімація поверхні Боя

У геометрії поверхня Боя — приклад занурення дійсної проєктивної площини в 3-вимірному просторі. На відміну від римської поверхні та плівки Мебіуса, вона не має інших особливих точок, крім самоперетину.

Історія

Знайдена Вернером Боєм у 1901 році, який відкрив її за завданням Давида Гільберта, щоб довести, що проєктивну площину не можна занурити в 3-просторі.

Поверхня Боя вперше явно параметризував Бернар Морен у 1978 році.[1] Іншу параметризацію виявили Роб Куснер і Роберт Браянт.[2] Поверхня Боя є одним із двох можливих занурень дійсної проєктивної площини, які мають лише одну потрійну точку.[3]

Модель поверхні Боя в Обервольфасі

Властивості

Поверхня Боя має 3-кратну симетрію. Це означає, що у неї є вісь дискретної симетрії обертання: будь-який поворот на 120° навколо цієї осі залишає поверхню виглядати точно так само. Поверхня Боя може бути розрізана на три взаємно конгруентні частини.

Застосування

Побудова поверхні Боя з паперу

Поверхня Боя може бути використана як проміжна модель у мінімаксному вивертанні сфери. Проміжна модель — це занурення сфери із такою властивістю, що обертання міняється всередині і зовні, і тому вона може бути використана для того, щоб вивернути сферу (навиворіт). Поверхні Боя (с = 3) і Морена (с = 2) починають послідовність проміжних моделей із вищою симетрією, вперше запропонованих Джорджем Френсісом, індексованих парними цілими числами 2p (для p неарного, ці занурення можна розкласти на множники через проєктивну площину). Все це передає параметризація Куснера.

Параметризація поверхні Боя

Вигляд описаної тут параметризації

Поверхня Боя може бути параметризована кількома способами. Одна з параметризацій, яку відкрили Роб Куснер і Роберт Браянт,[4] така: дано комплексне число w, величина якого менша або дорівнює одиниці (${\displaystyle \|w\|\leq 1}$), нехай

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\operatorname {Im} \left[{w\left(1-w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{2}&=-{3 \over 2}\operatorname {Re} \left[{w\left(1+w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{3}&=\operatorname {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}}$

таким чином

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}}$

де x, y і z — шукані декартові координати точки на поверхні Боя.

Якщо виконати інверсію цієї параметризації з центром у потрійній точці, то отримаємо повну мінімальну поверхню з трьома кінцями (саме так ця параметризація була відкрита природним чином). Це означає, що параметризація Браянта-Куснера поверхонь Боя є «оптимальною» в тому сенсі, що це «найменш вигнуте» занурення проєктивної площини в тривимірний простір.

Зациклений анімований розріз поверхні Боя.

Властивість параметризації Браянта–Куснера

Якщо w замінити на від'ємне значення, зворотне його комплексно спряженому, ${\textstyle -{1 \over w^{\star }},}$ тоді функції g₁, g₂ і g₃ від w залишаються незмінними.

Замінивши w в термінах його дійсної та уявної частин w = s + it, і розширивши результуючу параметризацію, можна отримати параметризацію поверхні Боя в термінах раціональних функцій s і t. Це показує, що поверхня Боя є не тільки алгебраїчною, але навіть раціональною поверхнею. Зауваження до попереднього параграфа показує, що спільна точка цієї параметризації складається з двох точок (тобто майже кожна точка поверхні Боя може бути отримана за двома значеннями параметрів).

Зв'язок поверхні Боя з дійсною проєктивною площиною

Нехай ${\displaystyle P(w)=(x(w),y(w),z(w))}$ — параметризація Браянта–Куснера поверхні Боя. Тоді

${\displaystyle P(w)=P\left(-{1 \over w^{\star }}\right).}$

Це пояснює умову ${\displaystyle \left\|w\right\|\leq 1}$ за параметром: якщо ${\displaystyle \left\|w\right\|<1,}$ тоді ${\textstyle \left\|-{1 \over w^{\star }}\right\|>1.}$ Однак тут все трохи складніше ${\displaystyle \left\|w\right\|=1.}$ У цьому випадку ${\textstyle -{1 \over w^{\star }}=-w.}$ Це означає, що якщо ${\displaystyle \left\|w\right\|=1,}$ точка поверхні Боя виходить із двох значень параметрів: ${\displaystyle P(w)=P(-w).}$ Іншими словами, поверхня Боя була параметризована диском таким чином, що пари діаметрально протилежних точок по периметру диска еквівалентні. Це показує, що поверхня Боя є зображенням дійсної проєктивної площини RP^2 гладкою функцією. Тобто параметризація поверхні Боя — це занурення дійсної проєктивної площини в евклідовий простір.

Примітки

1. Morin, Bernard (13 листопада 1978). Équations du retournement de la sphère [Equations of the eversion of the sphere] (PDF). Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série A (фр.). 287: 879—882.
2. Kusner, Rob (1987). Conformal geometry and complete minimal surfaces (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 17 (2): 291—295. doi:10.1090/S0273-0979-1987-15564-9..
3. Goodman, Sue; Marek Kossowski (2009). Immersions of the projective plane with one triple point. Differential Geometry and Its Applications. 27 (4): 527—542. doi:10.1016/j.difgeo.2009.01.011. ISSN 0926-2245.
4. Raymond O'Neil Wells (1988). Surfaces in conformal geometry (Robert Bryant). The Mathematical Heritage of Hermann Weyl (May 12–16, 1987, Duke University, Durham, North Carolina). Proc. Sympos. Pure Math. Т. 48. American Mathematical Soc. с. 227—240. doi:10.1090/pspum/048/974338. ISBN 978-0-8218-1482-6.

Джерела

• Kirby, Rob (November 2007), What is Boy's surface? (PDF), Notices of the AMS, 54 (10): 1306—1307 This describes a piecewise linear model of Boy's surface.
  • Casselman, Bill (November 2007), Collapsing Boy's Umbrellas (PDF), Notices of the AMS, 54 (10): 1356 Article on the cover illustration that accompanies the Rob Kirby article.
• Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), The Boy surface at Oberwolfach (PDF).
• Sanderson, B. Boy's will be Boy's, (undated, 2006 or earlier).
• Weisstein, Eric W. Boy's Surface(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.