Мартін Кампанія є вихованцем клубу «Депортіво Мальдонадо» з рідного міста футболіста. Однак у великому футболі Кампанья дебютував у складі клубу «Атенас», в 2008 році виступав у Другому дивізіоні чемпіонату Уругваю. За підсумками сезону 2008/09 «Атенас» посів третє місце і отримав путівку в еліту, однак до того моменту Кампанья вже виступав за «Серро-Ларго», який сам сезоном раніше вийшов в еліту. Примітно, що першу перемогу в еліті «Атенас» здобув саме над «Серро-Ларго».
Сезон 2009/10 склався для команди невдало, вона зайняла 15-е місто та вилетіла до Другого дивізіону.
У наступному сезоні Кампанья був відданий в оренду в клуб елітного дивізіону «Расінг» (Монтевідео), але там він провів лише 1 матч за весь сезон, в той час як «Серро-Ларго» повертав собі місце в Прімері.
З серпня 2011 року Мартін Кампанья знову виступає за команду з Мело. Там він допоміг вперше в історії клубу пробитися в міжнародні турніри — Південноамериканський кубок. Загалом відіграв за команду з Мело 69 матчів в національному чемпіонаті.
На початку 2013 року перейшов у «Дефенсор Спортінг», де відразу став основним воротарем і був названий найкращим голкіпером чемпіонату Уругваю сезону 2012/13.
У листопаді 2014 року Оскар Табарес викликав Кампанью в розташування національної збірної Уругваю на товариські ігри проти збірних Коста-Рики і Чилі, втім на поле Мартін так і не вийшов. Дебютував за збірну Кампанья 28 травня 2016 року, вийшовши на заміну Мартіну Сільві у товариському матчі проти Тринідаду і Тобаго[3].