Кратність (математика)

Кратність (термін) — це властивість, яка показує, скільки разів одне число можна поділити на інше без залишку. Наприклад, якщо ми беремо число 3, кожне число, яке можна отримати, помноживши 3 на інше натуральне число (наприклад, можна отримати 3, 6, 9, 12 і т. д.), буде кратним числу 3, оскільки вони діляться на нього без залишку.

Важливо відзначити, що будь-яке натуральне число має нескінченну кількість кратних. Найменшим кратним числа є саме це число, але найбільше кратне числа не можна визначити, оскільки кратні можуть бути нескінченно великими.

Кратність простого множника

При розкладені на прості множники, кратність простого множника — це його ${\displaystyle p}$-адичний порядок^[en]. Наприклад, простий множник цілого числа 60 є

60 = 2 × 2 × 3 × 5,

кратність простого множника 2 дорівнює 2, тоді як кратність кожного з простих множників 3 і 5 дорівнює 1. Таким чином, 60 має чотири прості множники з урахуванням кратності, але лише три різні прості множники.

Кратність кореня многочлена

Нехай ${\displaystyle F}$ — поле, а ${\displaystyle p(x)}$ — поліном від однієї змінної із коефіцієнтами у ${\displaystyle F}$. Елемент ${\displaystyle a\in F}$ є коренем кратності ${\displaystyle k}$ для ${\displaystyle p(x)}$, якщо існує такий поліном ${\displaystyle s(x)}$, що ${\displaystyle s(a)\neq 0}$ і ${\displaystyle p(x)=(x-a)^{k}s(x)}$. Якщо ${\displaystyle k=1}$, то ${\displaystyle a}$ називається простим коренем. Якщо ${\displaystyle k\geqslant 2}$, то ${\displaystyle a}$ називається кратним коренем порядку ${\displaystyle k}$ або коренем кратності ${\displaystyle k}$.

Наприклад, поліном ${\displaystyle p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$ має корені 1 і −4, і його можна записати як ${\displaystyle p(x)=(x+4)(x-1)^{2}}$. Це означає, що 1 є коренем кратності 2, а −4 є простим коренем (кратності 1). Кратність кореня — це кількість входжень цього кореня при розкладенні полінома на множники відповідно до основної теореми алгебри.

Якщо ${\displaystyle a}$ є коренем кратності ${\displaystyle k}$ якогось поліному, то він буде коренем кратності ${\displaystyle (k-1)}$ для похідної цього полінома, якщо тільки характеристика основного поля не є дільником k, у такому випадку ${\displaystyle a}$ є коренем з кратність принаймні ${\displaystyle k}$ для похідної цього полінома.

Дискримінант полінома дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли поліном має кратний корінь.

Поведінка поліноміальної функції поблизу кратного кореня

Графік функції y=x^3 + 2x^2 − 7x + 4 має простий корінь (кратність 1) у точці x=−4 та корінь кратності 2 у точці x=1. Графік перетинає вісь x у точці з простим коренем — x=−4. При цьому у точці з коренем кратності 2 графік є дотичним до вісі x, але не перетинає її, оскільки кратність цього кореня є парним числом.

Графік поліноміальної функції f перетинає або торкається осі x у тих точках, де є корені полінома. Якщо корінь полінома є кратним, графік є дотичним до осі x, якщо корінь є простим, то графік f не торкається осі у цій точці x. Графік перетинає вісь x в коренях з непарною кратністю і не перетинає її в коренях з парною кратністю.

Ненульова поліноміальна функція завжди невід'ємна тоді і тільки тоді, коли всі її корені мають парну кратність і існує ${\displaystyle x_{0}}$ такий, що ${\displaystyle f(x_{0})>0}$.

Кратність розв'язку нелінійної системи рівнянь

Рівняння ${\displaystyle f(x)=0}$ має розв'язок лише для одного значення змінної — ${\displaystyle x_{*}}$ кратності ${\displaystyle k}$, якщо

${\displaystyle f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0}$ і ${\displaystyle f^{(k)}(x_{*})\neq 0.}$

Іншими словами, диференціальний функціонал ${\displaystyle \partial _{j}}$, визначений як похідна ${\displaystyle {\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}$ функції у точці ${\displaystyle x_{*}}$, обертається в нуль в ${\displaystyle f}$ для ${\displaystyle j}$ від 1 до ${\displaystyle (k-1)}$. Ці диференціальні функціонали ${\displaystyle \partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}}$ охоплюють векторний простір, який називається двоїстим простором Маколея в ${\displaystyle x_{*}}$,[1] а його розмірність дорівнює кратності ${\displaystyle x_{*}}$ як нуля ${\displaystyle f(x)}$.

Нехай ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ — система ${\displaystyle m}$ рівнянь із ${\displaystyle n}$ змінними з розв'язком ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$, де ${\displaystyle \mathbf {f} }$ є відображенням ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ або ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$. Існує також подвійний простір Маколея диференціальних функціоналів в ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$, в якому кожен функціонал обертається у нуль ${\displaystyle \mathbf {f} }$. Розмірність цього дуального простору Маколея є кратністю розв'язку ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ рівняння ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$. Двоїстий простір Маколея формує структуру кратності розв'язку системи.[2][3]

Наприклад, ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$ буде розв'язком системи рівнянь ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$, де

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]}$

Цей корінь має кратність 3, оскільки двоїстий простір Маколея

${\displaystyle span\{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}}$

має розмірність 3, де ${\displaystyle \partial _{ij}}$ позначає диференціальний функціонал ${\displaystyle {\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\partial x_{2}^{j}}}}$, застосований до функції ${\displaystyle \mathbf {f} }$ в точці ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$.

Кратність завжди скінченна, якщо розв'язок є ізольованим, є інваріантною до зміни параметрів у тому сенсі, що ${\displaystyle k}$-кратний розв'язок стає кластером розв'язків із сумарною кратністю ${\displaystyle k}$ під час зміни параметрів у комплексних просторах і тотожна кратності перетину для поліноміальних систем.

Кратність перетину

В алгебраїчній геометрії перетин двох підмноговидів алгебраїчної множини є скінченним об'єднанням нерозкладних множників^[en]. Кожній складовій такого перетину приписується «множина кратності». Це поняття є локальним^[en] у тому розумінні, що його можна визначити, розглядаючи події в околі будь-якої загальної точки^[en] цієї складової. З цього випливає, що без втрати загальності ми можемо розглядати, для визначення множинної кратності перетину, перетин двох афінних многовидів (підмноговидів афінного простору).

Таким чином, маючи два афінних многовиди V₁ і V₂, розглянемо нерозкладну складову W перетину з V₁ і V₂. Нехай d — розмірність W, а P — будь-яка загальна точка W. Перетин W з гіперплощиною d в загальному положенні, яка проходить через P, має нерозкладену складову, яка зводиться до однієї точки P . Отже, локальне кільце в цій компоненті координатного кільця перетину має лише один простий ідеал, і тому є кільцем Артіна. Це кільце є кінцево-вимірним векторним простором над базовим полем. Його розмірність — це множинна кратність перетину V₁ і V₂ у W.

Це визначення дозволяє нам точно сформулювати теорему Безу та її узагальнення.

Наведене визначення узагальнює кратність кореня полінома наступним чином. Корені полінома f — це точки на афінній прямій, які є компонентами алгебраїчної множини, заданої многочленом. Координатне кільце цієї афінної множини має вигляд ${\displaystyle R=K[X]/\langle f\rangle ,}$ де K — алгебраїчно замкнуте поле, що містить коефіцієнти f. Якщо ${\displaystyle f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}}$ — розкладення полінома f, тоді локальне кільце R відносно простого ідеалу буде ${\displaystyle \langle X-\alpha _{i}\rangle }$ є ${\displaystyle K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .}$ Це векторний простір над K, розмірність якого відповідає кратності ${\displaystyle m_{i}}$ кореня.

Це визначення кратності перетину, яке, по суті, належить Жан-П'єр Серру, описане у його книзі «Локальна алгебра», працює лише для теоретико-множинних компонент (також їх називають «ізольованими компонентами») перетину, а не для вбудованих компонент. Були розроблені теорії для роботи з вбудованими компонентами (див. Теорія перетинів^[en] для більш детальної інформації).

У комплексному аналізі

Нехай z₀ є коренем голоморфної функції f, а n — найменше додатне ціле число таке, що n-та похідна f, обчислена як z₀, відрізняється від нуля. Тоді ряд Лорана для функції f в околі точки z₀ починається з n-го члена, і кажуть, що у функції f є корінь кратності (або «порядку») n.

Якщо n=1, то корінь називається простим.[4]

Ми також можемо визначити кратність нулів та полюсів мероморфної функції. Якщо у нас є мероморфна функція ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ де g і h — це функції, візьмемо ряди Тейлора g і h в околі точки z₀, і знайдемо перший ненульовий член у кожному з них (позначимо порядок цих членів як m і n відповідно). Якщо m=n, то точка має ненульове значення. Якщо ${\displaystyle m>n,}$ точка є нулем кратності ${\displaystyle m-n.}$ Якщо ${\displaystyle m<n}$, то точка має полюс кратності ${\displaystyle n-m}$.

Див. також

• Найменше спільне кратне
• Найбільший спільний дільник

Примітки

1. D.J. Бейтс, А.Дж. Sommese, J.D. Hauenstein і C.W. Wampler (2013). Чисельне розв’язування поліноміальних систем із Бертіні. SIAM. с. 186—187.
2. B.H. Дейтон, Т.-Й. Li and Z. Zeng (2011). Кілька нулів нелінійних систем. Mathematics of Computation. 80 (276): 2143—2168. arXiv:2103.05738. doi:10.1090/s0025-5718-2011-02462- 2. S2CID 9867417. {{cite journal}}: Перевірте значення |doi= (довідка)
3. Macaulay, F.S. (1916). Алгебраїчна теорія модульних систем. Cambridge Univ. Press 1994, перевидання оригіналу 1916.
4. (Krantz 1999, стор. 70)

Джерела

• Дрозд Ю. А. (1997). Теорія алгебричних чисел (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 82. ISBN 966-594-019-8. (укр.)