Компактифікація Стоуна — Чеха

Компактифікація Стоуна — Чеха (також стоун-чехівська або чех-стоунова компактифікація) — максимальна компактифікація цілком регулярного топологічного простору.

Компактифікація Стоуна — Чеха простору ${\displaystyle X}$ зазвичай позначається як ${\displaystyle \beta X}$.

Конструкція

Позначимо через ${\displaystyle A}$ множину всіх неперервних функцій ${\displaystyle \alpha \colon X\to [0,1]}$. Можна перевірити, що відображення ${\displaystyle F:X\to [0,1]^{A}}$ (тихонівський куб), визначене рівністю

${\displaystyle x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A}}$,

є гомеоморфізмом ${\displaystyle X}$ на свій образ ${\displaystyle F(X)\subset [0,1]^{A}}$. Замикання ${\displaystyle F(X)}$ у ${\displaystyle [0,1]^{A}}$ і буде шуканою компактифікацією.

Властивості

• Будь-яка неперервна функція ${\displaystyle f\colon X\to I=[0,1]}$ продовжується до неперервної функції ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon \beta X\to I}$.
• Будь-яке неперервне відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ у компактний гаусдорфів простір ${\displaystyle Y}$ продовжується до неперервного відображення ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon \beta X\to Y}$.

Історія

Конструкцію компактифікації вперше розглянув Андрій Миколайович Тихонов 1930 р.[1] 1937 року її чітко описали Маршалл Стоун[2] й Едуард Чех[3].

Джерела

1. Tychonoff, A. (1930). Über die topologische Erweiterung von Räumen. Mathematische Annalen. 102: 544—561.
2. Stone, Marshall Harvey (1937). Applications of the theory of Boolean rings to general topology. Transactions of the American Mathematical Society. 41: 375—481. doi:10.1090/S0002-9947-1937-1501905-7.
3. Čech, Eduard (1937). On Bicompact Spaces. Annals of Mathematics. 38 (4): 823—44. doi:10.2307/1968839. JSTOR 1968839.

Посилання

• Гаврилків Володимир Михайлович. Алгебро-топологічні структури на суперрозширеннях // Львівський національний університет імені Івана Франка : Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук. — Львів, 2009.