Зовнішність (топологія)

Зовнішність в загальній топології — це внутрішність доповнення.

Означення

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ — топологічний простір, де ${\displaystyle X}$ — довільна множина, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — визначена на ній топологія. Нехай дано підмножину ${\displaystyle A\subset X.}$ Точка ${\displaystyle x_{0}\in X}$ називається зовнішньою то́чкою множини ${\displaystyle A,}$ якщо існує її окіл ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}},U\ni x_{0}}$ такий, що

${\displaystyle U\cap A=\emptyset .}$

Сукупність усіх зовнішніх точок множини називається зовнішністю і позначається ${\displaystyle A^{\mathrm {e} }.}$

Властивості

• Всі основні властивості зовнішності випливають з властивостей внутрішності і тотожності:

${\displaystyle A^{\mathrm {e} }=\left(A^{\complement }\right)^{0};}$

• ${\displaystyle X=A^{0}\cup \partial A\cup A^{\mathrm {e} }.}$

Приклад

Нехай дана дана дійсна пряма з визначеній на ній стандартній топології. Тоді

• ${\displaystyle (a,b)^{\mathrm {e} }=(-\infty ,a)\cup (b,\infty ).}$

Див. також

• Внутрішність;
• Межа (топологія).