Інтеграл, залежний від параметра — математичний вираз, що містить визначений інтеграл і залежність від однієї або декількох змінних («параметрів»).
Залежний від параметра власний інтеграл
Нехай у двовимірному евклідовому просторі задана область , на якій визначена функція двох змінних.
Нехай далі, .
Функція і називається інтегралом, що залежить від параметра.
Властивості інтеграла, залежного від параметра
Неперервність
Нехай функція неперервна в області як функція. Тоді функція неперервна на відрізку .
Доведення
Розглянемо приріст інтеграла, залежного від параметра.
.
За теоремою Кантора, неперервна на компакті функція рівномірно неперервна на ньому, тобто
.
Тому, при , що й означає неперервність функції
Диференціювання під знаком інтеграла
Нехай тепер на області неперервна не лише функція , але і її частинна похідна .
Тоді , або, що те саме,
Доведення
Дані перетворення були виконані з використанням теореми про середнє Лагранжа. Розглянемо тепер вираз
.
Використовуючи знову теорему Кантора, але для функції ми отримуємо, що при , що і доводить дану теорему
Інтегрування під знаком інтеграла
Якщо функція неперервна в області , то
, або, що те саме:
Доведення
Розглянемо дві функції:
на , тому .
Так як , то і На . Підставляючи отримаємо умови теореми.