Задача Бернштейна

Задача Бернштейна — задача про графік функції, що є мінімальною поверхнею. Названа на честь Сергія Натановича Бернштейна, який вирішив 2-вимірний випадок цієї задачі в 1914 році.

Задача Бернштейна виявилася тісно пов'язаною з питанням існування негладких мінімальних гіперповерхонь у відповідній розмірності.

Формулювання

За яких ${\displaystyle n}$ графік функції, визначеної на всьому ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, що є мінімальною поверхнею в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, мусить бути плоским?

Відповідь: це правильно при ${\displaystyle n\leqslant 7}$ і неправильно при ${\displaystyle n\geqslant 8}$. Відповідний приклад функції ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ можна знайти серед функцій виду

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8})=F(u,v)}$,

де

${\displaystyle u={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}},\quad {\text{і}}\quad v={\sqrt {x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}}}.}$

Зауваження

Задача Бернштейна виявилася прямо пов'язаною з питанням існування в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ неплоского конуса, що мінімізує площу. Конкретним прикладом такої гіперповерхні є поверхня

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}}$.