Діофантова апроксимація

Діофантова апроксімація або Діофантові наближення — розділ теорії чисел, в якому вивчаються питання розв'язання в цілих числах нерівностей або систем нерівностей з дійсними коефіцієнтами. Діофантові наближення вивчають, зокрема, наближення дійсних чисел раціональними. Так, у діофантових наближеннях наближення дійсного числа ${\displaystyle \alpha }$ раціональними ${\displaystyle p/q}$ буде найкращим діофантовим наближенням[1], якщо

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\leqslant \left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,}$

для кожного раціонального числа ${\displaystyle p'/q'}$ такого, що ${\displaystyle 0<q'\leqslant q.}$

Існують і інші варіанти наближень.

До діофантових наближень належить також теорія трансцендентних чисел.

Історія

Діофантові наближення названо на честь Діофанта, який розв'язував алгебраїчні рівняння в цілих числах. Першим загальним методом діофантових наближень був алгоритм ланцюгових дробів. У теорії діофантових наближень застосовують геометричні та аналітичні методи. Видатні дослідження з діофантових наближень належать Діріхле, Чебишову, Ерміту, Мінковському, Вороному, І. М. Виноградову, Делоне, О. Я. Хінчину та іншим.

Див. також

• Гіпотеза Заремби
• Рівномірно розподілена послідовність

Примітки

1. Khinchin (1997) p.21

Джерела

• Хинчин А. Я. Цепные дроби. М., 1961; Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М., 1971;
• Боднарчук П. І., Скоробогатько В. Я. Гіллясті ланцюгові дроби та їх застосування. К., 1974.