Діагонально панівна матриця

Діагонально панівна матриця — матриця у якої для кожного рядка, абсолютна величина діагонального елементу більша або дорівнює сумі величин усіх інших (недіагональних) елементів цього рядка. Тобто, у матриці ${\displaystyle A}$ панівна діагональ якщо

${\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|,\ \forall i.}$

Зауважте, що це визначення послуговується слабкою нерівністю і, через це іноді його називають слабке діагональне панування. Якщо використати строгу нерівність (>), його називають строге діагональне панування. Термін діагональне панування може означати як строге так і слабке діагональне панування, залежно від контексту.[1]

Приклади

Матриця

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}}$

дає

${\displaystyle |a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|}$   оскільки ${\displaystyle |3|\geq |{-2}|+|1|}$

${\displaystyle |a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|}$   оскільки ${\displaystyle |{-3}|\geq |1|+|2|}$

${\displaystyle |a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|}$   оскільки ${\displaystyle |4|\geq |{-1}|+|2|}$.

Через те, що величина кожного діагонального елементу більша або дорівнює сумі величин елементів у рядку, кажуть, що матриця ${\displaystyle \mathbf {A} }$ діагонально панівна або має панівну діагональ.

Матриця

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}}$

Але тут,

${\displaystyle |b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|}$   оскільки ${\displaystyle |{-2}|<|2|+|1|}$

${\displaystyle |b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|}$   оскільки ${\displaystyle |3|\geq |1|+|2|}$

${\displaystyle |b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|}$   оскільки ${\displaystyle |0|<|1|+|{-2}|}$.

З того, що величини ${\displaystyle |b_{11}|}$ і ${\displaystyle |b_{33}|}$ менші ніж величини сум елементів у відповідних рядках, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ не є діагонально панівною.

Матриця

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}}$

дає

${\displaystyle |c_{11}|\geq |c_{12}|+|c_{13}|}$   оскільки ${\displaystyle |{-4}|>|2|+|1|}$

${\displaystyle |c_{22}|\geq |c_{21}|+|c_{23}|}$   оскільки ${\displaystyle |6|>|1|+|2|}$

${\displaystyle |c_{33}|\geq |c_{31}|+|c_{32}|}$   оскільки ${\displaystyle |5|>|1|+|{-2}|}$.

Тут, у кожному рядку, величина діагонального елементу більша ніж відповідна сума елементів рядка, ${\displaystyle \mathbf {C} }$ є строго діагонально панівною матрицею.

Властивості

• Строго діагонально панівна матриця є невиродженою. Цей результат можна довести використовуючи критерій регулярності Адамара чи круги Гершгорина.

• Ермітова матриця з панівною діагоналлю ${\displaystyle A}$ з дійсними невід'ємними діагональними елементами є невід'ємно означеною.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Р.Хорн(інші мови), Ч.Джонсон(інші мови). Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)

Примітки

1. Наприклад, Horn and Johnson (1985, p. 349) використовують це для позначення слабкого діагонального панування.