Круги Гершгорина

Круги Гершгорина — набір кругів на комплексній площині, які локалізують власні значення матриці. Потребують набагато меньше обчислень, ніж обчислення самих власних значень. Вперше були описані в 1931 році Семеном Аноновичем Гершгориним.

Теорема Гершгорина

Нехай ${\displaystyle A}$ — комплексна матриця розміру ${\displaystyle n\times n}$ з елементами ${\displaystyle a_{ij}}$, позначимо через ${\displaystyle R_{i}}$ суму абсолютних значень недіагональных елементів ${\displaystyle i}$-го рядка (де ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$):

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j\neq {i}}\left|a_{ij}\right|.}$

Розглянемо ${\displaystyle D(a_{ii},R_{i})\subseteq \mathbb {C} }$ — круг з центром в ${\displaystyle a_{ii}}$ і радіусом ${\displaystyle R_{i}}$. Такий круг називається кругом Гершгорина.

Теорема. Кожне власне значення матриці ${\displaystyle A}$ лежить хоча б в одному з кругів Гершгорина ${\displaystyle D(a_{ii},R_{i})}$.

Доведення. Нехай ${\displaystyle \lambda }$ — власне значення матриці ${\displaystyle A}$ з його власним вектором ${\displaystyle x=(x_{j})}$. Виберемо таке ${\displaystyle i}$, що ${\displaystyle x_{i}}$ — координата з найбільшим по модулю значенням серед всіх координат вектора ${\displaystyle x}$. Оскільки ${\displaystyle Ax=\lambda x}$, для ${\displaystyle i}$-ої координати цієї рівності:

${\displaystyle \sum _{j}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}.}$

Перенесемо ${\displaystyle a_{ii}}$ в інший бік:

${\displaystyle \sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}=(\lambda -a_{ii})x_{i}.}$

Тоді, застосовуючи нерівність трикутника і, використовуючи, що ${\displaystyle {\frac {\left|x_{j}\right|}{\left|x_{i}\right|}}\leq 1}$ з вибору ${\displaystyle i}$, отримуємо:

${\displaystyle \left|\lambda -a_{ii}\right|=\left|\sum _{j\neq i}{\frac {a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}\left|a_{ij}\right|=R_{i}.}$

Наслідок. Власні значення матриці ${\displaystyle A}$ також повинні належати кругам Гершгорина ${\displaystyle C_{j}}$, що відповідають стовпцям матриці ${\displaystyle A}$.

Приклад. Для діагональної матриці, круги Гершгорина мають нульовий радіус і співпадають зі спектром. Вірне і обернене твердження: якщо круги Гершгорина співпадають зі спектром, то матриця діагональна.

Властивості

• Перетворюючи матрицю, щоб зменшити суму норм недіагональних елементів можна отримати більш точні оцінки власних значень матриці. Діагональні елементи в процесі перетворення можуть змінюватись.
• Теорема не стверджує, що кожному власному значенню відповідає один круг Гершгорина. В матриці

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2&2\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2&2\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}-3a+2b+2c&6a-2b-4c&6a-4b-2c\\b-a&a+(a-b)&2(a-b)\\c-a&2(a-c)&a+(a-c)\end{pmatrix}}}$

— яка за побудовою має власні значення ${\displaystyle a,\ b,\ c}$ з власними векторами ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}3\\1\\1\end{smallmatrix}}\right)}$, ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2\\1\\0\end{smallmatrix}}\right)}$, ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2\\0\\1\end{smallmatrix}}\right)}$ — легко побачити, що круг для рядка 2 покриває ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$, тоді як круг для рядка 3 покриває ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle c}$.

Посилена теорема Гершгорина

Теорема: Якщо ${\displaystyle k}$ кругів утворюють зв'язну область, ізольовану від інших ${\displaystyle n-k}$ кругів, то ця область містить точно ${\displaystyle k}$, а друга — ${\displaystyle n-k}$ власних значень матриці ${\displaystyle A}$.

Доведення. Доведення використовує неперервну залежність власних значень матриці від її коефіцієнтів.

Приклад

Для матриці

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}10&-1&0&1\\0.2&8&0.2&0.2\\1&1&2&1\\-1&-1&-1&-11\\\end{bmatrix}}.}$

Використовуючи суми по рядках і стовпцях, отримаємо 4 круга: ${\displaystyle D(10,2),\;D(8,0.6),\;D(2,1.2),\;D(-11,2.2)}$.

Див. також

• Критерій регулярності Адамара

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Gerschgorin, S. (1931), Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix, Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk (German) , 6: 749—754.
• Круги Гершгорина на PlanetMath.(англ.)
• Weisstein, Eric W. Круги Гершгорина(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.