Гіпотенуза

Гіпотенуза (від грец. ὑποτείνουσα — розтягнута) — сторона прямокутного трикутника, яка лежить навпроти прямого кута.

Якщо треба підрахувати довжину гіпотенузи при відомих розмірах двох інших сторін, можна скористатися теоремою Піфагора.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}$,

де ${\displaystyle a,b}$ — сторони трикутника.

Наприклад, якщо одна з інших сторін має довжину 3, а інша має довжину 4, то квадрат гіпотенузи ${\displaystyle c^{2}=3^{2}+4^{2}=25}$, а довжина гіпотенузи ${\displaystyle c={\sqrt {25}}=5}$.

Етимологія

Слово гіпотенуза походить від грецького ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα (а саме γραμμή або πλευρά), що означає «[сторона], яка стягує прямий кут» (Аполлодор)[1], ὑποτείνουσα hupoteinousa є активним дієприкметником теперішнього часу жіночого роду від дієслова ὑποτείνω hupo-teinō «тягнути внизу, підтягувати», від τείνω teinō «розтягувати». Номіналізованеἡ ὑποτείνουσα використовували для гіпотенузи трикутника в IV столітті до н. е. (Платон, Тімей 54d). Грецький термін запозичено^[en] в пізню латинську мову як hypotēnūsa[2]. Написання з -e, як hypotenuse, має французьке походження (Естьєн де ла Рош^[en], 1520).[3]

Обчислення гіпотенузи

Довжину гіпотенузи можна обчислити за допомогою функції квадратного кореня, що випливає з теореми Піфагора. Якщо позначити довжини двох катетів трикутника (взаємно перпендикулярних сторін) a і b, а довжину гіпотенузи — c, маємо

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Теорему Піфагора, а отже, й цю довжину, можна також вивести із теореми косинусів, врахувавши, що кут навпроти гіпотенузи дорівнює 90° і його косинус дорівнює 0:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos 90^{\circ }=a^{2}+b^{2}\therefore c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Багато комп'ютерних мов підтримують стандартну функцію ISO C hypot(x,y), яка повертає відповідне значення[4]. Функція розроблена так, щоб не допускати збою там, де просте обчислення може спричинити переповнення або антипереповнення, і може бути дещо точнішою, проте, іноді, значно повільнішою.

Деякі наукові калькулятори надають функцію для перетворення прямокутних координат у полярні. За заданими x і y вона повертає як довжину гіпотенузи, так і кут, який вона утворює з додатним напрямом осі x. Повернений кут зазвичай задається як atan2^[en](y,x).

Тригонометричні співвідношення

За допомогою тригонометричних співвідношень можна отримати значення двох гострих кутів, ${\displaystyle \alpha \,}$ і ${\displaystyle \beta \,}$, прямокутного трикутника.

Для довжини гіпотенузи ${\displaystyle c\,}$ і катета ${\displaystyle b\,}$, співвідношення таке:

${\displaystyle {\frac {b}{c}}=\sin(\beta )\,}$

Тригонометрична обернена функція:

${\displaystyle \beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,}$

де ${\displaystyle \beta \,}$ — кут, протилежний до катета ${\displaystyle b\,}$.

Прилеглий до катета ${\displaystyle b\,}$ кут ${\displaystyle \alpha \,}$ = 90° — ${\displaystyle \beta \,}$.

Можна також отримати значення кута ${\displaystyle \beta \,}$ з рівняння:

${\displaystyle \beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,}$

де ${\displaystyle a\,}$ — інший катет.

Див. також

• Катет
• Теорема Піфагора
• Тригонометрія

Примітки

1. u(po/, tei/nw, pleura/. Liddell, Henry George; Scott, Robert; A Greek–English Lexicon at the Perseus Project
2. hypotenuse | Origin and meaning of hypotenuse by Online Etymology Dictionary. www.etymonline.com (англ.). Архів оригіналу за 31 грудня 2021. Процитовано 14 травня 2019.
3. Estienne de La Roche, l'Arismetique (1520), fol. 221r (cited after TLFi [Архівовано 16 травня 2021 у Wayback Machine.]).
4. hypot(3). Linux Programmer's Manual. Архів оригіналу за 4 грудня 2021. Процитовано 4 грудня 2021.

Посилання

• Гіпотенуза в Енциклопедії математики [Архівовано 31 травня 2015 у Wayback Machine.]
• Weisstein, Eric W. Гіпотенуза(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.