Гіпотеза ван дер Вардена

Гіпотеза ван дер Вардена — доведена математична гіпотеза про властивості значень перманента двічі стохастичної матриці ${\displaystyle S}$ порядку ${\displaystyle n}$[1]:

${\displaystyle \mathrm {per} (S)\geqslant {\frac {n!}{n^{n}}}}$,

причому рівність виконується тоді й лише тоді, коли всі ${\displaystyle S}$ рівні ${\displaystyle 1/n}$.

Висловлена ван дер Варденом 1926 року; фахівців багато років намагались її довести: гіпотезу безпосередньо перевірено для ${\displaystyle n\leqslant 5}$, 1959 року доведено, що, якщо перманент на множині всіх двічі стохастичних ${\displaystyle n}$-матриць досягає на деякій матриці без нульових елементів мінімуму, то він дорівнює ${\displaystyle n!/n^{n}}$. Повністю довели радянські математики Георгій Єгоричев^[en] 1980 року[2][3] (з застосуванням нерівності Александрова — Фенхеля про змішаний об'єм) і, незалежно, Дмитро Фалікман 1981 року[4] (також з використанням геометричних методів, роботу подано до опублікування 1979 року); за ці результати обох учених відзначено 1982 року премією Фалкерсона.

Примітки

1. B. L. van der Varden. Aufgabe 45, Jber. Deutsch. Math. Verein. 35 (1926), 117
2. Егорычев Г. П.  Решение проблемы Ван дер Вардена для перманентов // Институт физики им. Л. В. Киренского СО АН СССР^[ru], препринт ИФСО-13М. — Красноярск, 1980. — 25 грудня.
3. Егорычев Г. П. Решение проблемы Ван-дер-Вардена для перманентов // Доклады АН СССР. — 1981. — Т. 258, № 5 (25 грудня). — С. 1041—1044. Архівовано з джерела 23 квітня 2021. Процитовано 23 квітня 2021.
4. Фаликман Д. И. Доказательство гипотезы Ван дер Вардена о перманенте дважды стохастической матрицы // Математические заметки. — 1981. — Т. 29, № 6 (25 грудня). — С. 931—938. Архівовано з джерела 23 квітня 2021. Процитовано 23 квітня 2021.

Література

• Минк Х. Перманенты. — М. : Мир, 1982. — 211 с.