Neumannpolynom

Inom matematiken är Neumannpolynomen, introducerade av Carl Gottfried Neumann för the specialfallet ${\displaystyle \alpha =0}$, är en serie polynom i 1/z som används för att expandera funktioner i serier av Besselfunktioner.

De första Neumannpolynomen är

${\displaystyle O_{0}^{(\alpha )}(t)={\frac {1}{t}}}$

${\displaystyle O_{1}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {\alpha +1}{t^{2}}}}$

${\displaystyle O_{2}^{(\alpha )}(t)={\frac {2+\alpha }{t}}+4{\frac {(2+\alpha )(1+\alpha )}{t^{3}}}}$

${\displaystyle O_{3}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {(1+\alpha )(3+\alpha )}{t^{2}}}+8{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )}{t^{4}}}}$

${\displaystyle O_{4}^{(\alpha )}(t)={\frac {(1+\alpha )(4+\alpha )}{2t}}+4{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(4+\alpha )}{t^{3}}}+16{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )}{t^{5}}}.}$

De kan i allmänhet skrivas som

${\displaystyle O_{n}^{(\alpha )}(t)={\frac {\alpha +n}{2\alpha }}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{n-k}{\frac {(n-k)!}{k!}}{-\alpha \choose n-k}\left({\frac {2}{t}}\right)^{n+1-2k}.}$

Deras genererande funktion är

${\displaystyle {\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {1}{t-z}}=\sum _{n=0}O_{n}^{(\alpha )}(t)J_{\alpha +n}(z)}$

där J är en Besselfunktion.

Se även

• Besselfunktion
• Lommelpolynom

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Neumann polynomial, 7 december 2013.