Lommelpolynom

Lommelpolynomen R_m,ν(z), introducerade av Eugen von Lommel (1871), är en serie polynom i 1/z som definieras av att $${\displaystyle J_{m+\nu }(z)=J_{\nu }(z)R_{m,\nu }(z)-J_{\nu -1}(z)R_{m-1,\nu +1}(z)}$$ där J_ν(z) är Besselfunktionen av första slaget.

En explicit formel är $${\displaystyle R_{m,\nu }(z)=\sum _{n=0}^{[m/2]}{\frac {(-1)^{m}(m-n)!\,\Gamma (\nu +m-n)}{n!\,(m-2n)!\,\Gamma (\nu +n)}}(z/2)^{2n-m}.}$$ Notera att exponenten på ${\displaystyle z/2}$ aldrig är positiv. Eftersom skillnaden i argument mellan de två Gammafunktionerna är ett heltal så kan deras kvot alternativt uttryckas med en fallande fakultet; koefficienterna i Lommelpolynomen är även polynom i ${\displaystyle \nu }$.

Se även

• Lommels funktion
• Neumannpolynom

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Lommel polynomial, 6 december 2013.