В детстве играл за юношеские команды футбольного клуба «Вулверхэмптон», сначала на позиции правого защитника, а затем нападающим. Уже тогда тренеры отмечали его высокую скорость на фоне сверстников. Однако в 10 лет он сменил футбол на лёгкую атлетику. Как вспоминал сам Мэттью, причиной стала его недостаточная собранность в игре, кроме того, тогда казалось, что вернуться обратно можно будет в любой момент[1].
В 16 лет страдал от гангренозных язв на левой ноге. Они стали следствием неизвестной инфекции, с которой врачам всё же удалось справиться, но не без последствий в виде шрама чуть выше лодыжки[2].
Впервые обратил на себя внимание в 2011 году, когда финишировал вторым на чемпионате Англии среди школьников в беге на 200 метров. Через год повторил этот успех, а в 2013-м выступал на юниорском чемпионате Европы[3]. На дистанции 200 метров завоевал бронзовую медаль (в полуфинале показал личный рекорд 20,88), после чего стал третьим и в эстафете 4×400 метров.
В 2014 году стал делать акцент на бег на 400 метров. Прежний личный рекорд, 48,76, Мэттью за сезон улучшил более, чем на четыре секунды. В июле на этапе Бриллиантовой лиги стал вторым в истории Великобритании спортсменом младше 20 лет, преодолевшим дистанцию быстрее 45 секунд[4]. Благодаря этому успеху отобрался на Игры Содружества, где на последнем этапе привёл сборную Англии к победе в эстафете 4×400 метров. Полторы недели спустя на чемпионате Европы в беге на 400 метров уступил только соотечественнику Мартину Руни и выиграл серебряную медаль. В эстафете Хадсон-Смит бежал на втором этапе, а британцы в итоге стали чемпионами.
Сезон 2015 года почти полностью пропустил из-за травмы спины[5].
Вернулся к соревновательной деятельности в мае 2016 года и вскоре впервые в карьере выиграл чемпионат страны. На чемпионате Европы стал бронзовым призёром в эстафете, хотя на свой четвёртый этап уходил первым с небольшим отрывом и лидировал большую часть дистанции.
В полуфинале Олимпийских игр в Рио-де-Жанейро установил личный рекорд 44,48 и стал единственным представителем Европы, прошедшим в финал бега на 400 метров. Побороться за медали у Мэттью не получилось: он финишировал на последнем, восьмом, месте.
28 мая 2022 года в американском Орегоне пробежал 400 метров с национальным рекордом 44,35. Это второй результат в истории для европейских бегунов, лишь на 0,02 сек хуже рекорда Европы Томаса Шёнлебе, установленного в 1987 году.