N-эллипс

Пример n-эллипсов с 3 заданными фокусами. Увеличение расстояний нелинейное

N-эллипс — обобщение эллипса, имеющее более двух фокусов.[1] N-эллипсы называют также мультифокальными эллипсами,[2] полиэллипсами[3], k-эллипсами,[4] эллипсами Чирнхауса. Впервые такие фигуры исследовал Джеймс Максвелл в 1846 году.[5]

Пусть на плоскости задано n точек (u_i, v_i) (фокусы), тогда n-эллипс является геометрическим местом точек плоскости, для которых сумма расстояний до n фокусов является постоянной величиной d. В виде формулы данное утверждение записывается как

${\displaystyle \left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.}$

1-эллипс представляет собой окружность, 2-эллипс — обычный эллипс. Обе данные кривые являются алгебраическими кривыми степени 2.

Для любого числа n фокусов n-эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую.[2]:(стр. 90) Кривая является гладкой вне окрестностей фокуса.[4]:стр.7

n-эллипс является подмножеством точек, удовлетворяющих определённому алгебраическому уравнению.[4]:Figs. 2 and 4; p. 7 Если n нечётно, алгебраическая степень кривой равна ${\displaystyle 2^{n}}$, если n чётно, степень равна ${\displaystyle 2^{n}-{\binom {n}{n/2}}}$.[4]:(Т. 1.1)

Примечания

1. J. Sekino (1999): "n-Ellipses and the Minimum Distance Sum Problem", American Mathematical Monthly 106 #3 (March 1999), 193–202. MR: 1682340; Zbl 986.51040.
2. Erdős, Paul^[англ.]; Vincze, István^[англ.]. On the Approximation of Convex, Closed Plane Curves by Multifocal Ellipses (англ.) // Journal of Applied Probability : journal. — 1982. — Vol. 19. — P. 89—96. — JSTOR 3213552. Архивировано 28 сентября 2016 года.
3. Z.A. Melzak and J.S. Forsyth (1977): "Polyconics 1. polyellipses and optimization", Q. of Appl. Math., pages 239–255, 1977.
4. J. Nie, P.A. Parrilo, B. Sturmfels: "J. Nie, P. Parrilo, B.St.: "Semidefinite representation of the k-ellipse", in Algorithms in Algebraic Geometry, I.M.A. Volumes in Mathematics and its Applications, 146, Springer, New York, 2008, pp. 117-132 Архивная копия от 10 августа 2017 на Wayback Machine
5. James Clerk Maxwell (1846): "Paper on the Description of Oval Curves Архивная копия от 3 ноября 2021 на Wayback Machine, Feb 1846, from The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: 1846-1862

Литература

• P.L. Rosin: "On the Construction of Ovals"
• B. Sturmfels: "The Geometry of Semidefinite Programming", pp. 9–16.