Элемент площади

Элемент площади

Элеме́нт пло́щади[1][2][3][4][5][6] (англ. area element) — понятие математического анализа и дифференциальной геометрии, которое в декартовой системе координат для части плоскости выражается следующей формулой[7][6][8]:

${\displaystyle ds=dxdy}$.

Синонимы: элемент площади поверхности[9][10], дифференциальный элемент поверхности[8].

Иногда элемент площади как части плоскости имеет другое обозначение[4][10][5]:

${\displaystyle d\sigma =dxdy}$.

Вычислим элемент площади. Рассмотрим плоскую область ${\displaystyle D}$, разделённую сетью прямых, параллельных осям декартовым координат, на частичные прямоугольники длиной ${\displaystyle dx}$ и шириной ${\displaystyle dy}$ (см. рисунок справа вверху с элементом площади ${\displaystyle ds}$). Для так разбитой плоской области ${\displaystyle D}$ двойной интеграл по ней

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\,ds}$

можно обозначить следующим образом[5]:

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\,dxdy}$.

Элемент площади — выражение ${\displaystyle ds}$, элемент площади в прямоугольных декартовых координатах — выражение ${\displaystyle dxdy}$[5].

Обозначения ${\displaystyle dx}$, ${\displaystyle dy}$ и ${\displaystyle ds}$, сделанные по образцу соответственно приращений координат и приращения длины кривой при определении элемента длины, здесь не являются приращениями координат и площади плоской области. В частности, здесь величины ${\displaystyle dx}$, ${\displaystyle dy}$ и ${\displaystyle ds}$ всегда положительны, тогда как в случае длины кривой приращения могут быть и отрицательными, если направление приращения противоположно направлению кривой[7].

См. также

• Элемент объёма

Примечания

1. Полярные координаты, 1988.
2. Цилиндрические координаты, 1988.
3. Сферические координаты, 1988.
4. Соколов Д. Д. Полярные координаты, 1984, стб. 480.
5. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 451. Двойной интеграл, с. 762.
6. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. II, 1981, 50.7. Площадь поверхности, с. 252.
7. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 451. Двойной интеграл, с. 761.
8. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. II, 1983, § 12.23. Площадь поверхности, с. 72.
9. Соколов Д. Д. Цилиндрические координаты, 1985.
10. Соколов Д. Д. Сферические координаты, 1985.

Источники

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: «Наука», 1977. 871 с., ил.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: «Высшая школа», 1981, т. II. 584 с., ил.
• Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. II: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. М.: «Наука», 1983. 448 с., ил.
• Полярные координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 475.
• Соколов Д. Д. Полярные координаты // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 480—481.
• Соколов Д. Д. Сферические координаты // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 293.
• Соколов Д. Д. Цилиндрические координаты // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 819—820.
• Сферические координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 572.
• Цилиндрические координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 625.