Шершавое многообразие

Шершавое или несглаживаемое многообразие — топологическое многообразие, не допускающее гладкой структуры. Более точно, топологическое многообразие не гомеоморфное никакому гладкому многообразию.

Примеры

• E₈-многообразие
• Возьмём ${\displaystyle 4k}$-мерное многообразие Милнора ${\displaystyle W^{4k}}$, ${\displaystyle k>1}$; ${\displaystyle W^{4k}}$ параллелизуемо, его сигнатура равна ${\displaystyle 8}$, и его край ${\displaystyle M=\partial W^{4k}}$ гомотопически эквивалентен сфере ${\displaystyle S^{4k-1}}$. Подклейка к ${\displaystyle W^{4k}}$ конуса ${\displaystyle C(M)}$ к ${\displaystyle \partial W^{4k}}$ приводит к пространству ${\displaystyle P^{4k}}$. При этом, так как ${\displaystyle M}$ есть кусочно-линейная сфера (см. обобщенная гипотеза Пуанкаре), то ${\displaystyle C(M)}$ кусочно-линейный шар, так что ${\displaystyle P^{4k}}$ — кусочно-линейное многообразие. С другой стороны, ${\displaystyle P^{4k}}$ есть шершавое многообразие, так как его сигнатура равна 8, а сигнатура гладкого почти параллелизуемого (то есть параллелизуемого после выкалывания точки) ${\displaystyle 4k}$-мерного многообразия кратна числу ${\displaystyle \sigma _{k}}$, экспоненциально растущему с ростом ${\displaystyle k}$.
  • В частности, из этого следует, что многообразие ${\displaystyle M}$ не диффеоморфно сфере ${\displaystyle S^{4k-1}}$.

Критерий сглаживаемости кусочно-линейного многообразия

Пусть ${\displaystyle O_{n}}$ — ортогональная группа, a ${\displaystyle PL_{n}}$ — группа сохраняющих начало кусочно-линейных гомеоморфизмов ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Включение ${\displaystyle O_{n}\to PL_{n}}$ индуцирует расслоение ${\displaystyle BO_{n}\to BPL_{n}}$, где ${\displaystyle BG}$ — классифицирующее пространство группы ${\displaystyle G}$. При ${\displaystyle n\to \infty }$ получается расслоение ${\displaystyle p:BO_{n}\to BPL_{n}}$, слой которого обозначается через ${\displaystyle M/O}$.
Кусочно-линейное многообразие ${\displaystyle X}$ обладает линейным стабильным нормальным расслоением ${\displaystyle \nu }$, классифицируемым отображением ${\displaystyle \nu :X\to BPL_{n}}$.
Если же ${\displaystyle X}$ является гладким (сглаживаемым) многообразием, то оно обладает векторным стабильным нормальным расслоением ${\displaystyle {\bar {\nu }}}$, классифицируемым отображением ${\displaystyle {\bar {\nu }}:X\to BO_{n}}$, причем ${\displaystyle p\circ {\bar {\nu }}=\nu }$. Это условие также и достаточно, то есть

• Замкнутое кусочно-линейное многообразие ${\displaystyle X}$ сглаживаемо тогда и только тогда, когда его кусочно-линейное стабильное нормальное расслоение допускает векторную редукцию, то есть когда отображение ${\displaystyle \nu :X\to BPL_{n}}$ «поднимается» в ${\displaystyle BO_{n}}$ (то есть существует такое ${\displaystyle {\bar {\nu }}:X\to BO_{n}}$, что ${\displaystyle p\circ {\bar {\nu }}=\nu }$).

См. также

• Сфера Милнора

Литература

• Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы, пер. с англ., — М., 1979.
• Kervaire M. «Comment, math, helv.», 1960, t. 34, p. 257—70;